Эйкональное приближение для волновой оптики. Зачем следовать единичному вектору параллельно вектору Пойнтинга?

Описание перехода от волновой оптики к геометрической оптике утверждает, что лучи света представляют собой интегральные кривые некоторого векторного поля (направление вектора Пойнтинга, нормированное к 1). Вот подробности, не могли бы вы заполнить пробелы:

Длина волны λ много меньше всех других характерных длин.

  1. Настройка представляет собой «хорошую» среду (с пространственно изменяющимся показателем преломления н ( Икс ) ), по которому распространяется «почти плоская» волна. Волна (если она линейно поляризована) оказывается представимой в виде Е → ( Икс , т ) "=" Е → 0 опыт ⁡ ( я ( х ( Икс ) − ю т ) ) и Б → ( Икс , т ) "=" Б → 0 опыт ⁡ ( я ( х ( Икс ) − ю т ) ) с постоянным Е → 0 и Б → 0 .

  2. Уравнения Максвелла подразумевают ( ∇ → х ) 2 "=" н 2 ю 2 с 2 и усредненный по времени вектор Пойнтинга С → "=" с н с → , где с → единичный вектор с → "=" ∇ → х н ю / с .

  3. Интегральные кривые поля единичных векторов с → являются световые лучи.

  4. Работа с уравнениями приводит к этому для траектории луча Икс ( т ) (где т это просто параметр): г г т ( н г Икс → г т ) "=" ∇ → н

Как доказать скачок от 2 к 3. Почему следует следовать единичным векторам, а не самим векторам Пойнтинга? Или даже, почему световые лучи вообще должны касаться векторов Пойнтинга (помимо интуиции типа «световые лучи должны переносить энергию»)?

Может ли кто-нибудь дать мне доказательство 3. или указать мне ссылку?

Различие между с → и С → не очень существенно; смысл единичных векторов в том, что они указывают в том же направлении, что и вектор Пойнтинга, с единичной величиной. Поле единичных векторов непрерывно деформируется через фазовые границы, как и вектор Пойнтинга. Вы могли бы так же легко следовать вектору Пойнтинга, но это было бы немного более запутанным, поскольку «размер» вектора менял бы форму по мере изменения индекса среды. В этом нет необходимости, чтобы увидеть, что путь распространения света в любой точке пространства проходит вдоль единичного вектора Пойнтинга.
@KDN, интуитивно ваш комментарий имеет большой смысл, спасибо, однако я надеюсь получить более подробное доказательство в какой-то момент.
Кроме того, я не знаю, есть ли какое-либо «доказательство» для 3. Я считаю, что это скорее определение. Геометрический «световой луч» принимается за путь, очерченный вектором Пойнтинга электромагнитного поля.

Ответы (1)

В этом есть ряд интересных моментов.

  • Переход от 1. к 2. не тривиален. Если вы сделаете расчет, то увидите, что лапласиан ∇ 2 Е → из волнового уравнения дает член в ( ∇ х ) 2 вы упоминаете, а также термин в ∇ 2 х . Этот второй член исчезает только в малом λ предел, и в этом суть приближения эйконала. Это не расчет, от которого следует отмахиваться: проработайте его полностью и выполните аппроксимацию, заметив, что локально х ( Икс → ) "=" к → ⋅ Икс → + медленные факторы , где к → большой. (Конечно, вам нужно будет количественно определить «медленно».)
  • (Расчет, который С → "=" с 2 н 2 ю ∇ х , с другой стороны, тривиально.)
  • Как упоминал КДН, интегральные кривые С → и его единичный вектор с → одинаковы. Это следует из определения интегральных кривых: это такие кривые, что векторное поле касается их на всем протяжении. Это не зависит от длины вектора. (В терминах кривой это соответствует репараметризации «времени»: оно изменяет скорость, но не направление скорости.) Использование единичного вектора означает, что световые лучи будут параметризованы длиной пути.
  • Можно просто определить световые лучи как интегральные кривые с → и радуйтесь этому, хотя, конечно, в этом просто отсутствует физика. Ключевым фактом о световых лучах, определенных таким образом, является то, что они всюду перпендикулярны поверхностям постоянных х , т.е. поверхности постоянной фазы, т.е. волновые фронты. Плоские волны распространяются по прямым линиям, перпендикулярным волновым фронтам в свободном пространстве, как и световые лучи (определенные таким образом). При разработке уравнений Френеля важна нормаль к волновым фронтам, и поэтому (определенные таким образом) световые лучи будут подчиняться закону Снеллиуса. В конечном счете, доказательство 3. является вопросом определения: что такое световые лучи? Запишите любое определяющее свойство, и вы сможете доказать интегральные кривые с → подчиняться этому.
  • Важно отметить, что в изотропных средах с → является не только локальным единичным вектором Пойнтинга, но и локальным единичным волновым вектором. (По сути, это та же точка, что и выше.) Интуитивно световые лучи должны следовать за волновыми векторами, потому что именно волновые векторы сообщают световым волнам, куда идти. В двулучепреломляющей (не изотропной) среде направление распространения фазы (волновой вектор) и направление распространения энергии (вектор Пойнтинга) не обязательно совпадают (и закон Снеллиуса не применяется).
  • Доказательство 4. — интересное упражнение (т. е. сделайте это!), но по существу оно тривиально. Он опирается на тождество г Икс → г т "=" с → , который определяет кривые светового луча Икс → ( т ) , при разумном использовании полной производной г г т "=" ( г Икс → г т ⋅ ∇ ) и некоторые интересные манипуляции с векторным исчислением. (Подсказка: докажи ( ∇ х ⋅ ∇ ) ∇ х "=" 1 2 ∇ ( ∇ х ) 2 .) По-видимому, вы уже знаете, что то, что вы получаете, называется уравнением луча, что оно означает и как его использовать, иначе вы бы не остановились на этом ;).

Кажется, этого достаточно, чтобы начать работу, но если у вас есть еще вопросы, задавайте.

Эйкональное приближение для волновой оптики. Зачем следовать единичному вектору параллельно вектору Пойнтинга?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v