Ответ зависит от того, что означают символы. Вопрос не дает понять, как определяются символы. Самое запутанное количество$\omega_2$. Как это определяется? Является ли это угловой скоростью диска относительно неподвижных осей лаборатории или относительно оси, вокруг которой он вращается (где сама эта ось будет вращаться с$\omega_1$)? Кроме того, что такое соглашение о знаках для$\omega_1$? В задаче указано, что$\omega_1$вращается по часовой стрелке, поэтому является положительным$\omega_1$должно означать вращение по часовой стрелке или вращение против часовой стрелки? Мы увидим, что разные ответы на эти вопросы дают разные выражения для кинетической энергии — один дает ваш ответ, а другой — свой ответ. Таким образом, я думаю, что основной причиной разногласий является путаница в том, что означают символы.

Давайте сначала решим задачу, используя один выбор значения для символов, и получим выражение для кинетической энергии, затем мы увидим, как выражение изменится, когда мы будем использовать разные значения для символов. Я буду использовать «ваше» определение, где положительное$\omega_1$и$\omega_2$оба указывают на вращение против часовой стрелки, а значение$\omega_2$- угловая скорость диска относительно его центра масс относительно неподвижной лабораторной рамы.

Тогда мы знаем, что центр масс диска имеет скорость$\omega_1 d$, а диск вращается с угловой скоростью$\omega_2$относительно лабораторных осей. Тогда мы можем получить кинетическую энергию, используя следующий результат: кинетическая энергия твердого тела есть сумма поступательного куска$T_{\textrm{trans}}$данный$T_{\textrm{trans}}=\dfrac{1}{2} m v_{cm}^2$и поворотный элемент$T_{\textrm{rot}}$данный$T_{\textrm{rot}}=\dfrac{1}{2}I \omega^2$где$m$масса объекта,$v_{cm}$скорость его центра масс,$\omega$- его угловая скорость относительно его центра масс, и$I$- его момент инерции относительно центра масс (это показано в приложении). С использованием$v_{cm} = \omega_1 d$,$\omega = \omega_2$, и$I=\frac{1}{2}mr^2$, находим полную кинетическую энергию$T$дан кем-то$T=\dfrac{1}{2}m \omega_1^2 d^2 + \dfrac{1}{4} m \omega_2^2 r^2$. Это выражение у вас есть.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если вместо этого мы выразим кинетическую энергию не через абсолютную угловую скорость диска.$\omega_2$, но угловая скорость$\omega'_2$диска относительно оси. Тогда угловая скорость диска относительно лабораторной рамы равна угловой скорости диска относительно оси плюс угловая скорость оси относительно диска. То есть,$\omega_2 = \omega'_2 + \omega_1$. Подставляя это к нашему уравнению для кинетической энергии, мы получаем$T=\dfrac{1}{2}m \omega_1^2 d^2 + \dfrac{1}{4} m (\omega'_2 + \omega_1)^2 r^2$. Теперь предположим, что мы хотим выразить эту кинетическую энергию через$\omega'_1$, где$\omega'_1$положительно для вращения по часовой стрелке и отрицательно для вращения против часовой стрелки; то есть,$\omega'_1= -\omega_1$. Тогда выражение для кинетической энергии принимает вид$T=\dfrac{1}{2}m \omega_1^2 d^2 + \dfrac{1}{4} m (\omega'_2-\omega'_1)^2 r^2$. Теперь это его выражение. Таким образом, кажется, единственная разница заключалась в том, что вы имели в виду под своими переменными

Приложение

$\newcommand{\r}{\mathbf{r}}$ $\newcommand{\v}{\mathbf{v}}$ $\newcommand{\w}{\boldsymbol\omega}$Здесь я объясню единственную физику в задаче, заключающуюся в том, что кинетическую энергию твердого тела можно разложить на часть, дающую энергию поступательного движения центра масс, и часть на вращение вокруг центра масс. В некоторый момент времени этот объект описывается профилем пространственной плотности$\rho(\r)$и профиль пространственной скорости$\mathbf{v}(\r)$. Поскольку тело жесткое, профиль скорости$\mathbf{v}(\r)$должен иметь форму$\mathbf{v}(\r) = \mathbf{v}_0 + \w \times \r$, где$\w$угловая скорость. Кинетическая энергия определяется выражением$T=\dfrac{1}{2}\int \rho(\r) v^2(\r) d\r$.

Чтобы увидеть, как разбить это на величины центра масс, нам нужно будет определить квантиты центра масс. Определим общую массу$m$объекта, который будет$m=\int \rho(\r)d\r$, и определим положение центра масс$\r_{cm}$к$\r_{cm} = \dfrac{1}{m} \int \r \rho(\r) d \r$. Определим скорость центра масс$\v_{cm}$быть производной от положения центра масс, которое дается выражением$\v_{cm} = \dfrac{1}{m} \int \v(\r) \rho(\r) d \r$.

Сначала мы докажем интуитивный результат, заключающийся в том, что$\v(\r_{cm}) = \v_{cm}$. Это интуитивно понятно, потому что тело жесткое, поэтому центр масс должен двигаться вместе с объектом. Чтобы доказать это, просто посмотрите, что$\begin{equation} \begin{aligned} \v_{cm} &= \dfrac{1}{m} \int \v(\r) \rho(\r) d \r \\ &= \dfrac{1}{m} \int (\mathbf{v}_0 + \w \times \r) \rho(\r) d \r \\ &= \dfrac{1}{m} \int \mathbf{v}_0 \rho(\r) d \r + \dfrac{1}{m} \int \w \times \r\rho(\r) d \r \\ &= \mathbf{v}_0 \dfrac{1}{m} \int \rho(\r) d \r + \w \times \dfrac{1}{m} \int \r\rho(\r) d \r \\ &= \mathbf{v}_0 + \w \times \r_{cm} \\ &= \v(\r_{cm}) \end{aligned} \end{equation}$

Теперь первое, что мы хотим сделать, это повторно выразить$\v$с точки зрения$\r_{cm}$и$\v_{cm}$. У нас есть это$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{v}(\r) &= \mathbf{v}_0 + \w \times \r \\ &= \mathbf{v}_0 + \w \times \r - \v(\r_{cm}) + \v(\r_{cm}) \\ &= \mathbf{v}_0 + \w \times \r - (\mathbf{v}_0 + \w \times \r_{cm}) + \v(\r_{cm}) \\ &= \w \times (\r - \r_{cm}) + \v(\r_{cm}) \\ &= \w \times (\r - \r_{cm}) + \v_{cm} \end{aligned} \end{equation}$

Теперь давайте подключим эту форму$\v(\r)$в нашу формулу кинетической энергии$T$:$\begin{equation} \begin{aligned} 2T&= \int \rho(\r) v^2(\r) d\r \\ &= \int \rho(\r) (\w \times (\r - \r_{cm}) + \v_{cm})^2 d\r \\ &= \int \rho(\r) ((\w \times (\r - \r_{cm}))^2 + 2 (\w \times (\r - \r_{cm}))\cdot\v_{cm} + v^2_{cm}) d\r \\ &= \int \rho(\r) (\w \times (\r - \r_{cm}))^2 d\r + \int \rho(\r) 2 (\w \times (\r - \r_{cm}))\cdot\v_{cm} d\r + \int \rho(\r) v^2_{cm} d\r \end{aligned} \end{equation}$

Давайте посмотрим на эту последнюю строку термин за термином. Начнем с первого термина.$\begin{equation} \begin{aligned} \int \rho(\r) (\w \times (\r - \r_{cm}))^2 d\r &= \omega^2 \int \rho(\r) (\hat{\w} \times (\r - \r_{cm}))^2 d\r \end{aligned} \end{equation}$Теперь интеграл в правой части представляет собой взвешенную сумму квадрата составляющей, перпендикулярной$\w$смещения от центра масс. То есть это скалярный момент инерции для вращения вокруг оси, параллельной$\w$проходящий через центр масс. Обозначив этот момент инерции$I$, находим, что первый член равен$I \omega^2$.

Переходя ко второму члену кинетической энергии, мы видим$\begin{equation} \begin{aligned} \int \rho(\r) 2 (\w \times (\r - \r_{cm}))\cdot\v_{cm} d\r &= 2 \v_{cm} \cdot \left( \w \times \int \rho(\r) (\r - \r_{cm}) d\r \right) \\ &= 2 \v_{cm} \cdot \left(\w \times \left( \int \rho(\r) \r d\r - \int \rho(\r)\r_{cm} d\r \right)\right) \\ &=2 \v_{cm} \cdot \left(\w \times (m \r_{cm} - m \r_{cm}) \right) \\ &=0 \end{aligned} \end{equation}$

Наконец, давайте посмотрим на третий член. Третий термин

$\begin{equation} \begin{aligned} \int \rho(\r) v^2_{cm} d\r &= v^2_{cm} \int \rho(\r) d\r \\ &= m v^2_{cm} \end{aligned} \end{equation}$

Соединяя три слагаемых вместе, мы находим, что$2T = I \omega^2 + m v_{cm}^2$, или$T=\dfrac{1}{2}I \omega^2 +\dfrac{1}{2} m v_{cm}^2$где$I$есть момент инерции относительно центра масс. Это то, что нам нужно было показать.

Возьмите систему отсчета с центром на фиксированной оси. $R$соединяющий начало координат с центром вращающегося диска, образует угол$\phi$с горизонталью. Теперь внутри диска радиуса$r$, угол определенной точечной массы определяется углом, который она образует внутри вращающегося круга, который мы будем называть$\theta$.

Теперь возьмем в качестве обобщенных координат эти углы и запишем радиус-вектор в виде разложения в$\mathcal{X}$и$\mathcal{Y}$:

$$\mathcal{X}: r_x = R \cos \phi + r\cos \theta \\ \mathcal{Y}: r_y = R \sin \phi - r \sin \theta ,$$

Который означает, что

$$\dot{r}_x = -R \dot{\phi} \sin \phi - r \dot{\theta} \sin \theta \\ \dot{r}_y = R \dot{\phi} \cos \phi - r \dot{\theta} \cos \theta .$$

Суммируя квадраты,

$$\dot{r}^2_y + \dot{r}^2_x = R^2 \dot{\phi}^2 \cos^2 \phi + r^2 \dot{\theta}^2 \cos^2 \theta - 2 rR\dot{\theta} \dot{\phi} \cos \theta \cos \phi \\ + R^2 \dot{\phi}^2 \sin^2 \phi + r^2\dot{\theta}^2 \sin^2 \theta + 2 rR\dot{\theta} \dot{\phi} \sin \theta \sin \phi \\ = R^2 \dot{\phi}^2 + r^2\dot{\theta}^2 - 2Rr\dot{\phi} \dot{\theta} \cos(\phi + \theta) .$$

Тогда кинетическая энергия будет

$$T = \frac{m}{2}[ R^2 \dot{\phi}^2 + r^2\dot{\theta}^2 - 2Rr\dot{\phi} \dot{\theta} \cos(\phi + \theta)] .$$

Мой ответ сильно отличается от тех, к которым вы стремитесь, и я также использую обобщенные координаты и лагранжеву механику вместо ньютоновской (так что на самом деле я ничего не интегрирую). Я думаю, что этот дополнительный термин, появившийся термин, имеет смысл, потому что, если вы считаете, что диск вращается в одном направлении, а вращается в другом, то кинетическая энергия должна уменьшаться в какой-то конкретной конфигурации. Если вы сохраняете только квадрат угловой скорости, то это невозможно.

PS: Я, конечно, могу делать что-то ОЧЕНЬ неправильно здесь.

Это просто, взять линейную и угловую скорость центра масс (точки B ) и скомбинировать их с инерционными свойствами

1. Линейная скорость B :$\vec{v}_B = (0,d \omega_1,0)$
2. Угловая скорость B :$\omega_B = (0,0,\omega_2-\omega_1)$
3. Масса диска$m$
4. Массовый момент инерции диска$I_{zz} = \frac{m}{2} r^2$, где$r$это радиус диска.
5. Кинетическая энергия$T = \frac{1}{2} m (\vec{v}_B \cdot \vec{v}_B) + \frac{1}{2} I_{zz} ( \vec{\omega}_C \cdot \vec{\omega}_C) = \frac{m}{2} d^2 \omega_1^2 + \frac{I_{zz}}{2} (\omega_2-\omega_1)^2$

$$\boxed{ T = \frac{m}{2} \left( d^2 \omega_1^2 + \frac{r^2}{2} (\omega_2-\omega_1)^2 \right) }$$

Для кольца:

$Ke = \frac{1}{2}m ( \int_0^{2\pi} (Rw_1-rw_1cos(\theta)+rw_2cos(\theta))² +(rw_2abs(sin(\theta))² d\theta)$

$Ke = \frac{1}{2}m \int_0^{2\pi} R²w_1²+r²w_1²cos²(\theta)+r²w_2²cos²(\theta)-2Rw_1²rcos(\theta)+2Rw_1rw_2cos(\theta)) -2rw1cos(\theta)rw_2cos(\theta)+r²w_2²sin²(\theta) d\theta$

$Ke = \frac{1}{2}m (R²w_1²+\frac{1}{2}r²w_2²+\frac{1}{2}r²w_2²-r²w_1w_2)$

$Ke = \frac{1}{2}mR²w_1² + \frac{1}{2}mr²(w1-w2)²$

С:

$abs(W_1) > abs(W_2)$

$w_2<0$и$w_1>0$

Результат учитывает знак$w_2$, кинетическая энергия увеличивается, если$abs(w_2)$снижаться.

Ключевым здесь является фраза в исходном вопросе:

$\omega_2$относится к черной руке

Это означает, что в лабораторной системе отсчета диск вращается с угловой скоростью$\omega_2-\omega_1$. И с этим знанием следует ответ, который вы уже знаете: полная энергия - это энергия вращения центра масс плюс энергия вращения диска ($\frac12 I \omega^2$, где$I=\frac12 m r^2$для диска), т.е.

$$\begin{align}E_{com} &= \frac12 m (\omega_1 d)^2\\ E_{disk} &= \frac14 m (\omega_2 - \omega_1)^2 r^2\\ E_{total}&=\frac12 m (\omega_1 d)^2 + \frac14 m (\omega_2 - \omega_1)^2 r^2 \end{align}$$

Единственное, чего вам не хватало, так это определения$\omega_2$. Ваше выражение было бы правильным, если бы скорость была определена в лабораторной системе координат. Обратите внимание, что если бы скорости не были определены (опять же, по рисунку в исходном вопросе) как противоположные направления, то вы бы использовали$\omega_1 + \omega_2$во второй срок. Обратите внимание, что поскольку вы возводите количество в квадрат, порядок вычитания не имеет значения.