Предположим, у меня есть некоторая система, и я знаю ее общую массу.$M$, положение центра масс системы$\newcommand{\v}[1]{\mathbf{#1}}\v{r}_{cm}$, а угловая скорость систем$\v{L}_{cm}$, в кадре, где центр масс является началом координат. Как мне найти$\v{L}'$, угловой момент по отношению к некоторому другому началу, скажем$\v{r}_{0}$, который движется со скоростью$\v{v}_0$? Вот на этот вопрос я отвечу.

Ответ легко понять интуитивно. Полный угловой момент в новой системе отсчета представляет собой сумму двух слагаемых. Первый член - это угловой момент в системе центра масс.$\v{L}_{cm}$. Эта часть присуща движению в том смысле, что она не зависит от кадра. Вторая часть зависит от рамы, но имеет простую форму, не зависящую от деталей системы. Часть, зависящая от рамы,$M \left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right) \times \left(\v{v}_{cm}-\v{v}_0\right)$. Обратите внимание, что это всего лишь угловой момент точечной частицы с положением$\v{r}_{cm}$и скорость$\v{v}_{cm}$. Таким образом, система может быть смоделирована как точечная частица для целей расчета части, зависящей от каркаса.

Нетрудно доказать, что угловой момент распадается таким образом. Для этого введем обозначение$\langle X \rangle = \int X dm$, так что когда мы пишем$\langle \v{r} \rangle$, мы имеем в виду$\int \v{r} dm = M \v{r}_{cm}$. В этих обозначениях угловой момент в системе отсчета с началом$\v{r}_0$движущийся со скоростью$\v{v}_0$является

$$\begin{equation} \begin{aligned} \v{L}'=&\langle \left(\v{r}-\v{r}_0\right) \times \left(\v{v}-\v{v}_0\right)\rangle\\ =&\langle \left(\left(\v{r}-\v{r}_{cm}\right) +\left(\v{r}_{cm} -\v{r}_0\right)\right) \times \left(\left(\v{v}-\v{v}_{cm}\right)+\left(\v{v}_{cm}-\v{v}_0\right)\right)\rangle\\ =&\overbrace{\langle \left(\v{r}-\v{r}_{cm}\right) \times \left(\v{v}-\v{v}_{cm}\right) \rangle}^{\v{L}_{cm}}\\ &+\langle \left(\v{r}-\v{r}_{cm}\right) \times\left(\v{v}_{cm}-\v{v}_0\right) \rangle\\ &+\langle \left(\v{r}_{cm} -\v{r}_0\right) \times \left(\v{v}-\v{v}_{cm}\right) \rangle\\ &+\langle \left(\v{r}_{cm} -\v{r}_0\right) \times \left(\v{v}_{cm}-\v{v}_0\right) \rangle\\ =&\v{L}_{cm}\\ &+ \overbrace{\langle\v{r}-\v{r}_{cm} \rangle}^{0} \times\left(\v{v}_{cm}-\v{v}_0\right)\\ &+\left(\v{r}_{cm} -\v{r}_0\right) \times \overbrace{\langle \v{v}-\v{v}_{cm}\rangle}^{0}\\ &+M \left(\v{r}_{cm} -\v{r}_0\right) \times \left(\v{v}_{cm}-\v{v}_0\right) \\ =&\v{L}_{cm} + M \left(\v{r}_{cm} -\v{r}_0\right) \times \left(\v{v}_{cm}-\v{v}_0\right) \end{aligned} \end{equation}$$

Выше, в третьей строке, мы находим, что$\v{L}'$представляет собой сумму четырех слагаемых. Во-первых, это угловой момент в системе центра масс,$\v{L}_{cm}$, во втором и третьем членах константа может быть вынесена из угловых скобок, а то, что осталось в скобках, усредняется до нуля. В четвертом члене количество в скобках — просто константа, поэтому скобки означают умножение на$M$. Два оставшихся термина — это точно термины, описанные в предыдущем абзаце.

Связь с теоремой о параллельных осях

Вы можете подумать, что используете здесь теорему о параллельных осях. Теорема о параллельной оси на самом деле является частным случаем этого, когда смещение начала координат перпендикулярно оси вращения, а ваше новое начало координат — это некоторая точка, встроенная в объект (предполагается, что она жесткая). Под встраиванием в объект я подразумеваю, что новая точка отсчета движется с той же скоростью, что и объект в этой точке, так что$\v{v}_0-\v{v}_{cm}= \boldsymbol{\omega} \times \left( \v{r}_0 - \v{r}_{cm}\right)$.

Уравнение, которое мы получили в этом ответе, затем предсказывает

$$\begin{equation} \begin{aligned} \v{L}' &= \v{L}_{cm} + M \left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right) \times \left(\boldsymbol{\omega} \times \left(\v{r}_{cm} - \v{r}_0\right)\right)\\ &= \v{L}_{cm} + M\left( \boldsymbol{\omega} \left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right)^2 - \left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right) \overbrace{\left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right)\cdot \boldsymbol{\omega}}^{0} \right)\\ &=\v{L}_{cm} + M \boldsymbol{\omega} \left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right)^2. \end{aligned} \end{equation}$$ .

С другой стороны, теорема о параллельности осей говорит нам сделать замену$I_{cm} \to I_{cm} + M \left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right)^2$. Таким образом, мы бы имели

$$I_{cm} \boldsymbol{\omega} \to \left(I_{cm} + M\left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right)^2\right)\boldsymbol{\omega} = I_{cm} \boldsymbol{\omega} +M \left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right)^2\boldsymbol{\omega}.$$ Так что $\v{L}_{cm} \to \v{L}_{cm} + M\left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right)^2\boldsymbol{\omega}$. то есть, $\v{L}' = \v{L}_{cm} + M\left(\v{r}_{cm}-\v{r}_0\right)^2\boldsymbol{\omega}$. Таким образом, мы видим, что ответы, которые мы получаем, совпадают в этом частном случае, и можно использовать теорему о параллельных осях. Однако ваш вопрос касается более общих преобразований.