Верно ли утверждение, обратное первой теореме Нётер: каждый закон сохранения имеет симметрию?

I) Для точной математической обработки обратной теоремы Нётер следует обратиться, например, к книге Олвера (ссылка 1, теор. 5.58), как пишет пользователь orbifold в своем ответе (v2). Здесь мы хотели бы дать эвристическое и менее техническое обсуждение, чтобы передать суть дела и постараться максимально избежать языка струй и продолжений.

Говоря простым языком, мы хотели бы сформулировать «обратную машину Нётер».

Поскольку эта «машина» должна быть математической теоремой, которая должна быть успешной каждый раз без исключений (иначе это по определению не теорема!), нам, возможно, придется сузить набор/класс/категорию входных данных, которые мы допускаем в машину. чтобы не было остановок/поломок в технике.

II) Сделаем для простоты следующие ненужные ограничения:

1. Остановимся на точечной механике с локальным функционалом действия

   $$S[q] ~=~ \int\! dt~ L(q(t), \frac{dq(t)}{dt}, \ldots,\frac{d^Nq(t)}{dt^N} ;t), \tag{1}$$ куда$N\in\mathbb{N}_0$есть некоторый конечный порядок. Обобщение на классическую локальную теорию поля не вызывает затруднений.

2. Ограничимся только вертикальными преобразованиями$\delta q^i$, т. е. любое горизонтальное преобразование$\delta t=0$исчезает. (Олвер по существу называет эти эволюционные векторные поля и упоминает, что их достаточно эффективно изучать (см. [1, предл. 5.52]).)

3. Предположим, как это делает и Олвер, что лагранжиан$L$и преобразования действительно аналитические$^{\dagger}$.

Следующие технические ограничения/расширения абсолютно необходимы:

1. Понятие симметрии$\delta S=0$следует релаксировать до квазисимметрии (КС). По определению СМО действия$S$должен содержать только по модулю граничные условия. (Примечание: Олвер использует другую терминологию: он называет строгой симметрией симметрию, а симметрию — квазисимметрией.)

2. Понятие преобразований QS может иметь смысл только бесконечно мало/как векторное поле/алгебра Ли. Соответствующих конечных QS-преобразований/групп Ли может не существовать. В частности, допускается, что преобразования СМО зависят от скоростей$\dot{q}$. (Олвер называет это обобщенными векторными полями (см. ссылку 1, опр. 5.1).)

III) Теорема Нётер дает канонический рецепт того, как превратить СМО действия$S$в закон сохранения (CL),

куда$Q$— полный нётеровский заряд. (Здесь$\approx$символ означает равенство на оболочке, т.е. по модулю уравнений движения (еом).)

Замечание 1: независимо от времени$t$, преобразованиям QS разрешено воздействовать только на переменные$q^i$которые активно участвуют в принципе действия. Если есть пассивные внешние параметры, скажем, константы связи и т. д., тот факт, что они постоянны в модели, — это просто тривиальные CL, которые, очевидно, не должны считаться настоящими CL. Особенно,$\frac{d1}{dt}=0$это просто тривиальный CL.

Замечание 2: CL по определению должен выполняться для всех решений, а не только для конкретного решения.

Замечание 3. СМО действия$S$всегда неявно предполагается, что он находится вне оболочки. (Следует подчеркнуть, что СМО действия на оболочке

является бессодержательным понятием, поскольку уравнения Эйлера-Лагранжа удаляют любой объемный член на оболочке.)

Замечание 4. Следует подчеркнуть, что симметрия эомов не всегда приводит к КМ лагранжиана, ср. например, ссылка 2, пример 1 ниже и этот пост Phys.SE. Следовательно, важно проследить внешние аспекты теоремы Нётер.

Пример 1: Симметрия омов не обязательно является СМО лагранжиана. Пусть лагранжиан$L=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \dot{q}^i g_{ij} \dot{q}^j$, куда$g_{ij}$является постоянной невырожденной метрикой. Эомы$\ddot{q}^i\approx 0$есть$gl(n,\mathbb{R})$симметрия$\delta q^{i}=\epsilon^i{}_j~q^{i}$, но только$o(n,\mathbb{R})$Подалгебра Ли$gl(n,\mathbb{R})$Алгебра Ли есть СМО лагранжиана.

IV) Без дальнейших предположений априори нет гарантии, что рецепт Нётер превратит СМО в нетривиальное КЛ.

Пример 2. Пусть лагранжиан$L(q)=0$— тривиальный лагранжиан. Переменная$q$является чистой калибровкой. Тогда локальная калибровочная симметрия$\delta q(t)=\epsilon(t)$является симметрией, хотя соответствующий CL тривиален.

Пример 3. Пусть лагранжиан$L=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3(q^i)^2-q^1q^2q^3$. ЭОМ$q_1\approx q_2q_3$и циклические перестановки. Отсюда следует, что позиции$q^i\in\{ 0,\pm 1\}$постоянны. (Только$1+1+3=5$из$3^3=27$ветви непротиворечивы.) Любая функция$Q=Q(q)$является сохраняющейся величиной. Преобразование$\delta q^i=\epsilon \dot{q}^i$является СМО действия$S$.

Если мы хотим сформулировать биекцию между СМО и КС, мы должны рассмотреть классы эквивалентности СМО и КС по модулю тривиальных СМО и КС соответственно.

• Преобразование QS$\delta q^i$называется тривиальным , если он обращается в нуль на оболочке (см. [1, с. 292]).

CL называется

1. тривиально первого рода , если ток Нётер$Q$исчезает на оболочке.

2. тривиально второго рода , если CL исчезает вне оболочки.

3. тривиальна , если она представляет собой линейную комбинацию КЛ первого и второго рода (см. [1, с. 264–265]).

V) Самое важное допущение состоит в том, что эомы считаются (полностью) невырожденными. Олвер пишет (Ref. 1, Def. 2.83.): Система дифференциальных уравнений называется вполне невырожденной, если она и все ее продолжения имеют максимальный ранг и локально разрешимы .$^{\ddagger}$.

Предположение о невырожденности исключает, что действие$S$имеет локальную калибровочную симметрию. Если$N=1$, т.е.$L=L(q,\dot{q},t)$, предположение о невырожденности означает, что преобразование Лежандра регулярно, так что мы можем легко построить соответствующую гамильтонову формулировку$H=H(q,p,t)$. Гамильтонов лагранжиан читается

VI) Для гамильтонова функционала действия$S_H[p,q] = \int\! dt~ L_H$, существует канонический способ определить обратную карту из сохраняющейся величины$Q=Q(q,p,t)$к преобразованию$q^i$а также$p_i$с помощью заряда Нётер$Q$в качестве генератора Гамильтона для преобразований, как также объясняется, например, в моем ответе Phys.SE здесь . Здесь мы кратко напомним доказательство. CL на оболочке (2) подразумевает

вне оболочки, см. Замечание 2 и этот пост Phys.SE. Соответствующее преобразование

является СМО гамильтонова лагранжиана

потому что$\delta L_H$является полной производной по времени. Здесь$Q^0$голый нётеровский заряд

а также

Отсюда соответствующий полный нётеровский заряд

это в точности сохраняющаяся величина$Q$с которого мы начали. Поэтому обратное отображение работает в гамильтоновом случае.

Пример 4: Нерелятивистская свободная частица$L_H=p\dot{q}-\frac{p^2}{2m}$имеет, например, два сохраняющихся заряда$Q_1=p$а также$Q_2=q-\frac{pt}{m}$.

Обратная теорема Нётер для невырожденных систем (см. [1, теор. 5.58]) может быть интуитивно понята из того факта, что:

1. Во-первых, существует основная гамильтонова система$S_H[p,q]$, где биективное соответствие между QS и CL очевидно.

2. Во-вторых, интегрируя импульсы$p_i$мы можем утверждать, что такое же биективное соответствие верно и для исходной лагранжевой системы.

VII) Наконец, Ref. 3 перечисляет КдФ и синус-Гордон как контрпримеры к обратной теореме Нётер. КдФ и синус-Гордон — интегрируемые системы с бесконечным числом сохраняющихся зарядов.$Q_n$, и можно ввести бесконечно много соответствующих коммутирующих гамильтонианов$\hat{H}_n$и время$t_n$. Согласно Олверу, КдФ и синус-Гордон на самом деле не являются контрпримерами, а просто результатом неспособности правильно различить нетривиальное и тривиальное CL. См. также ссылку. 4.

Использованная литература:

1. П. Дж. Олвер, Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям, 1993.

2. В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, 2-е изд., 1989, сноска 38 на с. 88.

3. Г. Гольдштейн, Классическая механика; 2-е изд., 1980, с. 594; или 3-е изд., 2001, с. 596.

4. Л. Х. Райдер, Квантовая теория поля, 2- е изд., 1996, с. 395.

$^{\dagger}$Обратите внимание, что если отказаться от реальной аналитичности, скажем, для$C^k$вместо этого анализ может стать очень техническим и громоздким. Даже если работать с категорией гладких$C^\infty$функций, а не категории вещественных аналитических функций, можно было бы столкнуться с феноменом Леви , когда уравнения движения (еом) вообще не имеют решений! Такая ситуация сделала бы понятие закона сохранения (ЗС) немного академическим! Однако даже без решений CL формально все еще может существовать как формальное следствие eoms. Наконец, добавим, что если кого-то интересует только конкретный функционал действия$S$(в отличие от всех функционалов действия внутри некоторого класса) чаще всего для обеспечения регулярности обычно требуется гораздо меньшая дифференцируемость.

$^{\ddagger}$ Максимальный ранг имеет решающее значение, в то время как локально решаемый может не быть необходимым, ср. предыдущая сноска.

Если закон сохранения является общим , то есть он не специфичен для одного движения, а сохраняется в общей конфигурации, то ответ — да. Это следует из теории канонических преобразований в классической механике.

Во-первых, рассмотрим идеально симметричное треугольное начальное состояние трех частиц, расположенных на равностороннем треугольнике со скоростями, которые повернуты на соответствующий угол (120 градусов, 240 градусов), чтобы получить тройную вращательную симметрию. В этом начальном условии для треугольно-инвариантных силовых законов имеет место сохранение треугольной симметрии, так что конфигурация обладает тем свойством, что по заданному положению центра масс и одной из частиц можно найти две другие. Это классическая дискретная симметрия, и она не распространяется на произвольное движение, поэтому с ней не связана никакая симметрия.

Но если у вас есть общая сохраняющаяся величина Q(x,p) на фазовом пространстве, которая сохраняется для всех начальных условий x,p, то

Где скобка - скобка Пуассона. Отсюда следует, что движение в фазовом пространстве с использованием Q в качестве гамитониана

выполняет преобразование фазового пространства, переводящее x, p в x (s), p (s), и это преобразование коммутирует с гамильтоновой временной эволюцией и определяет симметрию фазового пространства, ток Нётера которого обеспечивает сохранение Q.

Та же идея работает и в обратном порядке, и в квантовой механике вы просто заменяете классическую скобку Пуассона коммутатором и используете Q в качестве гамильтониана для генерации эволюции волновой функции:

и это дает вам симметрию. Хорошая вещь в КМ заключается в том, что даже квантово-механически точные дискретные симметрии приводят к сохраняющимся величинам, так что закон треугольной силы сохраняет оператор, который поворачивает волновую функцию на 120 градусов, и можно классифицировать стационарные состояния по их Z_3 дискретный заряд. Ключевое отличие состоит в том, что любое состояние в квантовой механике может быть записано как суперпозиция симметричных состояний путем наложения повернутых версий самого себя с соответствующей фазой.

Я не знаю, как доказать следующее, но это должно хотя бы фактически ответить на ваш вопрос. Следующее я цитирую из книги «Классическая механика» Гольдштейна: «Следует отметить, что, хотя теорема Нётер доказывает, что свойство непрерывной симметрии лагранжевой плотности приводит к условию сохранения, обратное неверно. По-видимому, существуют условия сохранения. которое не может соответствовать свойству симметрии. Наиболее яркими примерами на данный момент являются поля, которые имеют солитонные решения, например, описываются уравнением синуса-Гордона или уравнением Кортевега-де Фриза».

Надеюсь, это ответит на ваш вопрос.

Действительно, существует взаимно однозначное соответствие между однопараметрическими группами обобщенных вариационных симметрий некоторого функционала и законами сохранения связанных с ним уравнений Эйлера-Лагранжа. Точные формулировки и определения можно найти, например, в главе 5 Олвера «Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям». Независимо от вопроса, я настоятельно рекомендую эту книгу, если вас интересуют такие вопросы. На самом деле Нётер уже сформулировала свою теорему в этом общем виде, но обычно в курсах физики обсуждаются только ее тривиальные аспекты.

Возможно, более интересный вопрос состоит в том, какие системы дифференциальных уравнений могут быть уравнениями Эйлера-Лагранжа некоторой вариационной задачи, поскольку, по крайней мере, возможно, что описание некоторых физических систем не возникает из вариационных задач. Это уже было изучено Гельмгольцем и также обсуждалось в этой книге.

По иронии судьбы уравнение Кортега-де-Фриза допускает бесконечное число таких обобщенных симметрий, что является причиной того, что оно «точно разрешимо» и для солитонных решений. Так что принятый ответ не только неверен, но даже пример, приведенный автором, является хорошим контрпримером.

Настоящим обращением первой теоремы является вторая. Ваша формулировка, обратная первой теореме, слишком буквальна и поэтому справедлива как частный случай при дополнительных условиях.