Имеют ли действие и его уравнения Эйлера-Лагранжа одинаковую симметрию?

Параметр. Мы рассматриваем трансформацию$^1$который действует на переменные поля$\phi^{\alpha}(x)$и, возможно, точка пространства-времени$x^{\mu}$. Преобразование, в свою очередь, относится к

1. Действие$S_V[\phi]=\int_V \! d^nx~{\cal L}$.

2. Уравнения Эйлера-Лагранжа = уравнения движения (УЭД).

3. Решение$\phi$ЭОМ.

Определение. Если какой-либо из элементов 1-3 инвариантен относительно преобразования, то говорят о симметрии соответствующего элемента 1-3.

Определение. Если решение (3) не имеет симметрии, которую имеет ЭОМ (2), мы говорим о спонтанно нарушенной симметрии .

Определение. Далее давайте вспомним определение (вне оболочки)$^2$) квазисимметрия действия. Это означает, что действие изменяется граничным интегралом

$$S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}] +\int_{\partial V^{\prime}} \!d^{n-1}x~(\ldots) ~=~S_V[\phi]+ \int_{\partial V} \!d^{n-1}x~(\ldots) \tag{0.1}$$ под трансформацию.

Предложение. В общем случае, если действие (1) обладает квазисимметрией, то ЭОМ (2) должно иметь симметрию (относительно того же преобразования), ср. например, этот пост Phys.SE.

Примеры:

1. Одним из примеров является плотность лагранжиана Максвелла (в вакууме без$J^{\mu}A_{\mu}$исходный термин)

   $${\cal L} ~=~ -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}(\vec{E}^2-\vec{B}^2), \tag{1.1}$$ который не имеет электромагнитного$SO(2,\mathbb{R})$двойственная симметрия $$(\vec{E}, \vec{B})\quad \longrightarrow \quad(\vec{E}\cos\theta - \vec{B}\sin\theta, \vec{B}\cos\theta + \vec{E}\sin\theta),\tag{1.2}$$ а уравнения Эйлера-Лагранжа (уравнения Максвелла в вакууме) симметричны относительно электромагнитной двойственности.

2. Другим примером является нерелятивистская свободная точечная частица, где лагранжиан

   $$L~=~\frac{1}{2}m\dot{q}^2\tag{2.1}$$ не инвариантен относительно галилеевой симметрии $$\dot{q}\quad \longrightarrow \quad\dot{q}+v,\tag{2.2}$$ ни расширение/масштабная симметрия $$q \quad \longrightarrow \quad \lambda q,\tag{2.3}$$ но МНВ $$\ddot{q}~=~0\tag{2.4}$$ является инвариантным. В случае галилеевой симметрии (2.2) лагранжиан меняется на полную производную по времени $$L \quad \longrightarrow \quad L +mv\frac{d}{dt}\left( q +\frac{vt}{2}\right).\tag{2.5}$$ См. также этот пост Phys.SE. Таким образом, (2.2) фактически является примером квазисимметрии действия. [Поучительно вывести соответствующий заряд Нётер$Q$. На бесконечно малом уровне преобразование Галилея (2.2) имеет вид $$\begin{align} \delta \dot{q}~=~&\delta v~=~\varepsilon, \qquad \delta q~=~\varepsilon t,\cr \delta L ~=~& \varepsilon\frac{df}{dt}, \qquad f ~:=~mq. \end{align}\tag{2.6}$$ Голый нётеровский заряд равен $$Q^0~=~t \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}~=~t m\dot{q}, \tag{2.7}$$ в то время как полный нётеровский заряд равен $$Q~=~Q^0-f~=~m(\dot{q}t-q),\tag{2.8}$$ который сохраняется на скорлупе, ср. Теорема Нётер . (Нерелятивистский) буст-генератор Галилея (2.8) следует сравнивать с (релятивистскими) лоренцевыми буст-генераторами$tP-xE$в релятивистских теориях, см. например, этот пост Phys.SE.]

3. Преобразование расширения/масштаба

   $$q \quad \longrightarrow \quad \lambda q,\tag{3.1}$$ не является квазисимметрией лагранжевого действия $$S[q]~= ~\int\! dt ~L, \qquad L ~=~\frac{m}{2}\dot{q}^2- \frac{k}{2}q^2, \tag{3.2}$$ для простого гармонического осциллятора (SHO), но это симметрия ЭОМ $$m\ddot{q}~=~-kq. \tag{3.3}$$

4. Преобразование расширения/масштаба

   $$q \quad \longrightarrow \quad \lambda q, \qquad p \quad \longrightarrow \quad \lambda p, \tag{4.1}$$ не является квазисимметрией гамильтонова действия $$\begin{align} S_H[q,p]~= ~&\int\! dt ~L_H, \qquad L_H ~=~p\dot{q}-H, \cr H ~=~&\frac{p^2}{2m}+ \frac{k}{2}q^2,\end{align} \tag{4.2}$$ для SHO, но это симметрия ЭОМ Гамильтона $$p~=~m\dot{q} , \qquad \dot{p}~=~-kq. \tag{4.3}$$

5. МНВ ШО

   $$m\ddot{q}~=~-kq \tag{5.1}$$ не инвариантен относительно временной симметрии $$t \quad \longrightarrow \quad \lambda t,\qquad \lambda~\neq~\pm 1,\tag{5.2}$$ но тривиальное решение$q=0$является.

--

$^1$Обратите внимание, что в основной части этого ответа преобразование действует только на переменные поля.$\phi^{\alpha}(x)$и, возможно, точка пространства-времени$x^{\mu}$, который является типом преобразования, относящимся к теореме Нётер . Мы не рассматриваем преобразование других объектов (например, параметров) как таковое.

Пример последнего: преобразование лагранжевой плотности

$${\cal L} \longrightarrow \lambda {\cal L},\qquad \lambda~\neq~ 1,\tag{6.1}$$ не является квазисимметрией лагранжевой плотности, а является симметрией уравнений ЭЛ.

$^2$Здесь слово вне оболочки указывает на то, что EOM не предполагается сохранять при конкретном преобразовании. В случае непрерывных преобразований, если мы предполагаем, что EOM выполняется, то любая бесконечно малая вариация действия тривиально является граничным интегралом.