Если известны все сохраняющиеся величины системы, можно ли их объяснить с помощью симметрии?

Уже есть несколько хороших ответов. Однако аспект вне оболочки, связанный с теоремой Нётер, до сих пор не рассматривался. (Слова « на-оболочке» и « вне оболочки » относятся к тому, удовлетворяются ли уравнения движения (eom) или нет.) Переформулируем задачу следующим образом.

Рассмотрим (не обязательно изолированную) гамильтонову систему с$N$степеней свободы (степеней свободы). Фазовое пространство имеет$2N$координаты, которые мы обозначаем$(z^1, \ldots, z^{2N})$.

(Нам нечего сказать о соответствующей лагранжевой проблеме.)

1. Симплектическая структура. Обычно мы работаем в координатах Дарбу.$(q^1, \ldots, q^N; p_1, \ldots, p_N)$, с канонической симплектической формой потенциала
   

   $$\vartheta=\sum_{i=1}^N p_i dq^i.$$ Однако в дальнейших расчетах оказывается более эффективным, если вместо этого с самого начала рассматривать общие координаты$(z^1, \ldots, z^{2N})$и общая (глобально определенная) симплектическая потенциальная форма $$\vartheta=\sum_{I=1}^{2N} \vartheta_I(z;t) dz^I,$$ с невырожденной (=обратимой) симплектической двуформой $$\omega = \frac{1}{2}\sum_{I,J=1}^{2N} \omega_{IJ} \ dz^I \wedge dz^J = d\vartheta,\qquad\omega_{IJ} =\partial_{[I}\vartheta_{J]}=\partial_{I}\vartheta_{J}-\partial_{J}\vartheta_{I}.$$ Соответствующая скобка Пуассона $$\{f,g\} = \sum_{I,J=1}^{2N} (\partial_I f) \omega^{IJ} (\partial_J g), \qquad \sum_{J=1}^{2N} \omega_{IJ}\omega^{JK}= \delta_I^K.$$

2. Действие. Гамильтоново действие$S$читает

   $$S[z]= \int dt\ L_H(z^1, \ldots, z^{2N};\dot{z}^1, \ldots, \dot{z}^{2N};t),$$ куда $$L_H(z;\dot{z};t)= \sum_{I=1}^{2N} \vartheta_I(z;t) \dot{z}^I- H(z;t)$$ является гамильтоновым лагранжианом. По бесконечно малой вариации $$\delta S = \int dt\sum_{I=1}^{2N}\delta z^I \left( \sum_{J=1}^{2N}\omega_{IJ} \dot{z}^J-\partial_I H - \partial_0\vartheta_I\right)+ \int dt \frac{d}{dt}\sum_{I=1}^{2N}\vartheta_I \delta z^I, \qquad \partial_0 \equiv\frac{\partial }{\partial t},$$ действия$S$, находим эмм Гамильтона $$\dot{z}^I \approx \sum_{J=1}^{2N}\omega^{IJ}\left(\partial_J H + \partial_0\vartheta_J\right) = \{z^I,H\} + \sum_{J=1}^{2N}\omega^{IJ}\partial_0\vartheta_J.$$ (Мы будем использовать$\approx$знак, чтобы подчеркнуть, что уравнение является уравнением на оболочке.)

3. Константы движения. Решение

   $$z^I = Z^I(a^1, \ldots, a^{2N};t)$$ к гамильтоновой еом первого порядка зависит от$2N$константы интегрирования$(a^1, \ldots, a^{2N})$. Предполагая соответствующие условия регулярности, в принципе можно локально обратить это соотношение так, чтобы константы интегрирования $$a^I=A^I(z^1, \ldots, z^{2N};t)$$ выражаются в терминах$(z^1, \ldots, z^{2N})$переменные и время$t$. Эти функции$A^I$находятся$2N$(локально определенные) константы движения (ком), т. е. постоянные во времени$\frac{dA^I}{dt}\approx0$. Любая функция$B(A^1, \ldots, A^{2N})$принадлежащий$A$s, но без явной зависимости от времени, снова будет com. В частности, мы можем выразить начальные значения$(z^1_0, \ldots, z^{2N}_0)$вовремя$t=0$как функции $$Z^J_0(z;t)=Z^J(A^1(z;t), \ldots, A^{2N}(z;t); t=0)$$ принадлежащий$A$, так что$Z^J_0$стать ком

   Теперь позвольте

   $$b^I=B^I(z^1, \ldots, z^{2N};t)$$ быть$2N$независимый (локально определенный) com, который, как мы утверждали выше, должен существовать. Тогда вопрос заголовка OP в этой формулировке становится, если существуют$2N$внеоболочечные симметрии (локально определенного) действия$S$, так что соответствующие нётеровские токи находятся на оболочке com?

   Примечание. Следует подчеркнуть, что симметрия на оболочке — бессодержательное понятие, потому что, если мы варьируем действие$\delta S$и примените eom, затем$\delta S\approx 0$обращается в нуль по определению (по модулю граничных членов), независимо от того, какая вариация$\delta$состоит из. По этой причине мы часто просто сокращаем симметрию вне оболочки до симметрии . С другой стороны, говоря о com, мы всегда предполагаем, что om

4. Смена координат. Поскольку действие$S$инвариантен относительно замены координат, мы можем просто поменять координаты$z\to b = B(z;t)$к$2N$com и используйте$b$как координаты (которые мы просто назовем$z$впредь). Тогда еом в этих координатах просто

   $$\frac{dz^I}{dt}\approx0,$$ отсюда заключаем, что в этих координатах имеем $$\partial_J H + \partial_0 \vartheta_J=0$$ как уравнение вне оболочки. [Кроме того: отсюда следует, что симплектическая матрица$\omega_{IJ}$не зависит явно от времени, $$\partial_0\omega_{IJ} =\partial_0\partial_{[I}\vartheta_{J]}=\partial_{[I} \partial_0\vartheta_{J]}=-\partial_{[I}\partial_{J]} H=0.$$ Отсюда матрица Пуассона$\{z^I,z^J\}=\omega^{IJ}$не зависит явно от времени. По теореме Дарбу мы можем локально найти координаты Дарбу$(q^1, \ldots, q^N; p_1, \ldots, p_N)$, которые также являются ком]

5. Вариация. Выполним теперь бесконечно малую вариацию$\delta= \varepsilon\{z^{I_0}, \cdot \}$,

   $$\delta z^J = \varepsilon\{z^{I_0}, z^J\}=\varepsilon \omega^{I_0 J},$$ с гамильтоновым генератором$z^{I_0}$, куда$I_0\in\{1, \ldots, 2N\}$. Несложно проверить, что бесконечно малая вариация$\delta= \varepsilon\{z^{I_0}, \cdot \}$является внешней симметрией действия (по модулю граничных членов) $$\delta S = \varepsilon\int dt \frac{d f^0}{dt},$$ куда $$f^0 = z^{I_0}+ \sum_{J=1}^{2N}\omega^{I_0J}\vartheta_J.$$ Голый нётеровский ток равен $$j^0 = \sum_{J=1}^{2N}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^J} \omega^{I_0 J}=\sum_{J=1}^{2N}\omega^{I_0J}\vartheta_J,$$ так что полный нётеровский ток $$J^0=j^0-f^0=-z^{I_0}$$ становится просто (минус) генератором Гамильтона$z^{I_0}$, который сохраняется на оболочке$\frac{dJ^0}{dt}\approx 0$по определению.

Таким образом, ответ на заглавный вопрос OP - да в гамильтоновом случае.

См. также, например , этот , этот и этот связанные посты Phys.SE.

Да, это противоположность теореме Нётер. Итак, давайте назовем нашу сохраненную величину$A$(мы будем рассматривать только одну сохраняющуюся величину для начала) и начнем с$\left \{H, A \right \} = 0$закон сохранения. Из-за связи скобки Пуассона с потоками в фазовом пространстве это говорит вам обоим, что$\mathcal{L}_{V_H} A$= 0 ($A$сохраняется во времени) и$\mathcal{L}_{V_A} H = 0$(Гамильтониан сохраняется при симметрии, которая имеет фундаментальное поле$V_A$) до тех пор, пока поля векторов, связанные с функциями на фазовом пространстве,$V_X = ({\rm d} X)^{\sharp}$в определенном смысле невырождены. Обратите внимание, что повышение $(\cdot)^{\sharp}$ оператор определяется, очевидно, с помощью обратной симплектической формы . Это, например, означает, что, например, подлинные константы (которые, безусловно, также являются константами движения) не будут работать, потому что${\rm d} C = 0$и мы получаем нулевое векторное поле.

С другой стороны, пока все сохраняющиеся величины невырождены, мы всегда можем найти соответствующие потоки симметрии путем интегрирования упомянутых выше векторных полей. Но заметьте, что в итоге мы получаем симметрии фазового пространства . Связаны ли они также непосредственно с некоторой симметрией лежащего в основе позиционного пространства (если такое пространство существует, то есть; в общем случае его не должно быть, но в обычных приложениях мы берем фазовое пространство позиционного многообразия$M$как кокасательное расслоение$T^*M$) — вопрос для дальнейшего изучения. Я постараюсь изучить его позже, если я найду немного времени.

Начну с некоторых терминологических тонкостей, которые необходимо учитывать, когда речь идет о «сохраняющихся величинах» или «интегралах движения».

Прежде всего важно указать, от каких переменных могут зависеть величины. В области дифференциальных уравнений , гамильтоновой динамики и динамических систем сохраняющаяся величина по определению не зависит явно от времени — обычно это функция, определенная на пространстве (многообразии), которая полностью описывает состояние вашей системы ( использует все степени свободы, как вы их определили).

Следует принять во внимание еще одну вещь: представляется возможным взять функцию константы движения и, таким образом, получить другую постоянную величину, таким образом производя любое количество констант движения. Таким образом, существует неявное условие функциональной независимости между этими$N$константы движения. Что можно сформулировать как обращение в нуль скобок Пуассона между любой парой величин. Вот ссылка об этом в Википедии, также я задавал вопрос об этом некоторое время назад...

Поэтому я думаю, что ваше неявное утверждение:

Если система имеет N степеней свободы (DOF) и, следовательно, N сохраняющихся независимых величин

Не совсем правильно, если принять во внимание сказанное о понятии «сохраняющаяся величина».

Что касается вашего вопроса о нахождении преобразования симметрии, соответствующего количеству - я рассмотрел этот вопрос в этом вопросе .

Кратко -- дан "генератор"$\delta G$и некоторое количество$A$. Небольшое преобразование, созданное$\delta G$является:

положить$A = H$, и отметив, что если$\delta G$есть постоянная движения, то$\{\delta G, H\} = 0$. Сразу приходим к выводу, что преобразование, порожденное$\delta G$является преобразованием симметрии. (Некоторые примеры здесь .)

Дорогой Тобиас, все намного проще: уравнения ограничивают возможное движение системы и сами обеспечивают сохраняющиеся величины. Вы можете называть эти уравнения «ограничениями» или «требованиями симметрии», если хотите, но они являются необходимыми и достаточными условиями для сохранения величин (= решений).

Рассмотрим ОДУ:$F(\dot{x},x,t) = 0$с некоторыми исходными данными$x_0 (t_0)$. После решения этого уравнения вы получите решение, которое можно представить в неявной форме следующим образом:$f(x(t), t, x_0)=0$. С другой стороны, эта неявная форма решения является законом сохранения: комбинация переменной задачи и времени не зависит от времени.

Теперь я дифференцирую это неявное решение и получаю:$f'_x\cdot \dot{x} + \dot{f} = 0$. Это выражение сохранения чего-то, не так ли? С другой стороны, оно должно совпадать или быть эквивалентным исходному уравнению$F=0$. Теперь вы понимаете, что уравнения необходимы и достаточны для сохранения величин . Последние в значительной степени синонимичны решениям .

РЕДАКТИРОВАТЬ: нет необходимости в какой-либо симметрии для сохранения величин. Только уравнения. Симметрии упрощают внешний вид сохраняющихся величин (решений). Рассмотрим одномерное движение частицы под действием внешней силы, зависящей от времени. Энергия и импульс не сохраняются, но остаются два «закона» сохранения.