Вероятностный ток в задачах рассеяния

Основная идея заключается в том, что вы можете преобразовать вероятности из картины с одной частицей в доли частиц в картине из многих частиц (при условии отсутствия взаимодействия).

Учитывать$T$на мгновение для одной частицы. Скажем так, для простоты написания$T=.9$. Таким образом, если вы отправите одну частицу из крайнего левого угла, 90% плотности вероятности продолжит двигаться вправо, а 10% плотности вероятности вернется обратно. Таким образом, если у вас есть идеальный детектор в крайнем правом углу, вероятность того, что ваш детектор сработает, составляет 90%.

Теперь проделайте то же самое с целым пучком частиц (которые не взаимодействуют друг с другом и никаким образом не влияют на распространение друг друга через возмущение). Если вы отправите в$N$частиц, вы ожидаете, что детектор справа сработает$.9N$раз, потому что каждая частица в отдельности имела 90% шанс попасть в нее. Итак, в крайнем правом углу можно сказать, что вы можете осмысленно сказать, что обнаруживаете 90% частиц, которые вы отправили.

В этом смысле:

Изменить, чтобы объяснить: «Почему$T$вероятность передачи частицы?»

$T$и$R$обычно определяются как функция энергии$E$приходящей волны. Как заменить утверждения о входящих волнах утверждениями о частицах?

В квантовой механике мы думаем о «прилетающей частице» как о волновом пакете, движущемся вправо слева. (Волновой пакет энергии ~$E$представляет собой суперпозицию волн небольшого диапазона частот, плотно прилегающих к$E/\hbar$, поэтому результирующая волновая функция не распространяется по всему пространству положений, а скорее нормализуется и концентрируется в некоторой области, и все еще имеет энергию примерно$E$.) Итак, это «похоже, что частица движется правильно».

Если у нас плотный волновой пакет, так что$T(E)$является константой$T$на интересующих частотах, то по мере развития системы 90% этого волнового пакета в конечном итоге будут проходить прямо мимо возмущения, а 10% волнового пакета будут отражаться обратно. Легче визуализировать это с помощью анимации .

Гриффитс обсуждает эту тему в конце раздела 2.5 (стр. 75-76 в моем экземпляре). Шанкар упоминает об этом в разделе 5.4 (для меня на стр. 175), но математика, показывающая это, по-видимому, довольно сложна, поэтому, боюсь, ни один из авторов не выдвигает реальных доказательств. Но см. этот связанный вопрос . (Обратите внимание, что запись в этом вопросе отличается: они используют$T$и$R$для коэффициентов, а не вероятностей, как вы сделали. Так что ваши$T,R$их$|T|^2/|A|^2,|R|^2/|A|^2$.)

Редактировать 2: Чтобы объяснить, почему у нас есть коэффициенты

Соотношения существуют только потому, что когда мы работаем с входящей и исходящей плоскими волнами, наше состояние не нормализуется. Если вы (гипотетически) решаете задачу с нормализованным волновым пакетом, то общая интегральная плотность вероятности, поступающая из дальнего левого угла (до отражения), равна 1. Тогда полная интегральная плотность вероятности, смещающаяся вправо в конце, равна$T=\int_{t_i}^{t_f} j_\mathrm{trans}dt$и это, по определению, вероятность передачи частицы.

Однако, когда вы решаете проблему на практике, вы обычно не используете волновые пакеты, вы используете входящие и исходящие волны, которые не нормализованы. Таким образом, общая интегрированная плотность вероятности равна не 1, а скорее$j_\mathrm{inc}\times \mathrm{time}$, а полная интегральная плотность вероятности, вытекающая наружу, равна$j_\mathrm{trans}\times \mathrm{time}$.

Вопрос, на который мы хотим ответить, звучит так: «Какова будет плотность вероятности исходящего потока, если общая интегральная плотность входящего потока равна 1?» Итак, мы делим наши наивные ненормированные$T=j_\mathrm{trans}$к$I=j_\mathrm{inc}$чтобы исправить тот факт, что мы не нормализовали наше состояние с самого начала.

Во-первых, я предполагаю, что вы согласны с тем, что плотность вероятности положения частицы равна$|\psi(x)|^2$.

Теперь, что примерно происходит в реальном рассеянии, так это то, что входит частица, волновая функция которой выглядит как на изображении ниже:

Затем, после взаимодействия с потенциалом, выходят два меньших пакета. Пакет, прошедший на другую сторону барьера,$T$полной плотности вероятности, а отраженный от барьера пакет имеет$R$полной плотности вероятности. (Под этим я буквально подразумеваю, что отраженная волна$\sqrt{R}$такой же высоты, как оригинал.) Тогда, когда вы измеряете, где находится частица, вероятность увидеть ее по другую сторону барьера равна$T$.

Предполагая, что вы принимаете это, нам нужно объединить эту картинку с картинкой «текущей вероятности».

Почему мы вообще говорим о токе вероятности? При решении задач рассеяния используются приходящие волны вида$e^{i(kx-\omega t)}$. Они удобны, потому что имеют одну частоту, но неудобны, потому что имеют бесконечную протяженность. Это означает, что мы не можем сказать «после$e^{ikx}$приходит, волна$\sqrt{R}$как высокий отражается, и...", потому что нет после . Вместо этого мы перефразируем все в терминах вероятностных потоков, которые говорят нам, как движется вероятностная масса. Наш коэффициент означает, что скорость вероятностной массы, отскакивающей от барьер$R$раза выше скорости поступления.

Когда вы объединяете эти$e^{ikx}$волны для создания реалистичного волнового пакета, вы восстанавливаете прежнюю картину:$R$полной вероятностной массы отражается и$T$передается. Волна ударяется о барьер один раз и уходит.

Редактировать: ах, как этот вопрос четырехмесячной давности попал в топ?