Очевидное противоречие между квантовыми расчетами и интуицией для отражения в ступенчатом потенциале?

Люди

Я несколько запутался, потому что кажется, что математические выводы, которые я здесь сделал, противоречат моей физической интуиции, хотя оба они не слишком надежны с самого начала.

У нас есть потенциальный шаг, описанный

В (Икс) "=" {\begin{cases} 0 & Икс \leq 0 \\ В_{0} & Икс > 0 \end{cases}

$V(x)=\begin{cases}0& x\le0\\V_0 & x>0\end{cases}$

и волновая функция $\psi(x)$ удовлетворяющее уравнению

\frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} ψ (Икс) + В (Икс) ψ (Икс) "=" Е ψ (Икс) .

${\hbar^2\over 2m}{\partial^2 \over \partial x^2}\psi(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x).$

Я хочу найти вероятность отражения. По ограничениям непрерывности при $x=0$ Я пришел к тому, что амплитуда отражения

р "=" \frac{к - д}{к + д},

$R={k-q\over k+q},$ где

k = \sqrt{\frac{2 m E}{ℏ^{2}}}

$k=\sqrt{2mE\over \hbar^2}$ и

q = \sqrt{\frac{2 m (E - V_{0})}{ℏ^{2}}}

$q=\sqrt{2m(E-V_0)\over \hbar^2}$ тогда мы позволим

V_{0} \to - \infty

$V_0\to -\infty$ давать

q \to \infty

$q\to \infty$ , так

R \to - 1

$R\to -1$

$\implies |R|^2\to 1.$

Но я бы догадался, что $|R|^2$ должна обращаться в нуль в пределе, так что падающая волна полностью проходит!

Может кто-нибудь объяснить?

Ответы (1)

Qмеханик

Напомним, что если у нас есть падающая волна

\frac{1}{\sqrt{к_{1}}} е^{я к_{1} Икс}

$\frac{1}{\sqrt{k_1}}e^{ik_1 x}$

слева (область 1, $x<0$ , с постоянным потенциалом $V_1$ ), который частично передается

\frac{Т}{\sqrt{к_{2}}} е^{я к_{2} Икс}

$\frac{T}{\sqrt{k_2}}e^{ik_2 x}$

направо (район 2, $x>0$ , с постоянным потенциалом $V_2$ ), а частично отражается обратно в область 1,

\frac{р}{\sqrt{к_{1}}} е^{- я к_{1} Икс}

$\frac{R}{\sqrt{k_1}}e^{-ik_1 x}$

то коэффициент отражения, как известно , равен

р "=" \frac{к_{1} - к_{2}}{к_{1} + к_{2}},

$R~=~ \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2},$

где

к_{я} "=" \frac{\sqrt{2 м (Е - В_{я})}}{ℏ} .

$k_i ~:=~\frac{\sqrt{2m(E-V_i)}}{\hbar}.$

Вопрос ОП связан с тем, что вероятность отражения $|R|^2$ инвариантен относительно перестановки $V_1\leftrightarrow V_2$ . Грубо говоря, с точки зрения квантовой механики вероятность отражения $|R|^2$ не зависит от того, встречается ли падающая волна с потенциальным барьером/стеной или с потенциальной пропастью/колодцем!

Интуитивно можно было бы предположить, что волна стремится пройти в область с наименьшим потенциалом. $V_i$ . Классически это происходит потому, что забывают о сохранении импульса волны и неявно позволяют волне отводить/поглощать импульс в $x=0$ в/из окружающей среды. С точки зрения квантовой механики сохранение импульса реализуется требованием, чтобы левая и правая производные волновой функции при $x=0$ должно быть таким же. Сохранение импульса подразумевает, что, когда волна встречает потенциальную ступеньку (либо вверх, либо вниз), часть волны всегда должна отражаться, чтобы сохранить импульс.

Очевидное противоречие между квантовыми расчетами и интуицией для отражения в ступенчатом потенциале?

СпросиСеть Политика конфиденциальности1y, 0v