Влияние начального условия на функцию Грина

Благодаря подсказкам и небольшим исследованиям я нашел то, что искал, в книге Садри Хассани «Математическая физика» . Постараюсь объяснить пошагово.

Прежде всего, поскольку ОДУ неоднородно, а также имеет неоднородные начальные значения, принято (благодаря линейности) разлагать его на две функции$y_h$и$y_i$которые являются однородным и неоднородным ответом задачи соответственно. Что касается этого разложения, мы также должны позаботиться о начальных значениях.

Здесь идет второе соглашение, которое охватывает начальные значения. Мы просим, ​​чтобы начальные значения для$y_i$быть нулевым (однородным), но ненулевым (неоднородным) для$y_h$.

Таким образом, исходная проблема

$\mathcal{D}[y(t)] = \delta(t-t_0)\ ;\hspace{2cm} \ y^{(n)}(0) = y_{n} \hspace{1cm} \forall n=0, ...,N-1$

превращается в поиск$y_h$и$y_i$такой, что$y=y_h+y_i$и

$\mathcal{D}[y_h(t)] = 0\ ;\hspace{3.3cm} \ y^{(n)}(0) = y_{n} \hspace{0.8cm} \forall n=0, ...,N-1$ $\mathcal{D}[y_i(t,t_0)] = \delta(t-t_0)\ ;\hspace{1.5cm} \ y^{(n)}(0) =0 \hspace{1cm} \forall n=0, ...,N-1$

Первая проблема проста. Можно решить характеристическое уравнение, чтобы получить степени экспоненциальных членов, и решить линейную систему для нахождения коэффициентов, составляющих общее решение уравнения$y_h(t)$соответствуют исходным значениям. Обратите внимание, что$y_h(t)$является функцией$t$только.

Вторую можно решить благодаря волшебству функции Грина. то есть мы можем искать$g(t,t')$это удовлетворяет второму выражению, которое на практике намного проще, чем то, что я упомянул в вопросе, который удовлетворял бы всем начальным условиям. Предположим, что мы можем найти такие$g$, мы можем написать$y_i$как показано ниже:

$y_i (t) = \int_{0}^{\infty}{f(t') g(t,t') dt'}$

и с тех пор$g(0,t'), g'(0,t'), g''(0,t'), ...$все нулевые,$y_i$и все производные равны нулю, что согласуется с приведенным выше уравнением.

PS: мне больше нравилась общая процедура, которая для любых начальных/граничных условий с использованием метода функции Грина дает общий ответ для произвольного ввода. Этот рецепт, хотя и работает для этой конкретной проблемы, довольно хорошо спроектирован, и я думаю, что это может быть не самый общий случай. Причина, по которой я не нашел этот рецепт общим, заключается в том, что декомпозиция, которую я сделал в первую очередь, может оказаться бесполезной для других случаев.

И чтобы показать, что я подразумеваю под общим случаем, я скорее поставлю следующую проблему. Предположим ту же задачу, но на этот раз с граничными условиями вместо начальных значений:

$\mathcal{D}[y(x)] = \sum_{n=0}^N {a_n y^{(n)}(x)} = f(x)$

$y(x_0)=y_0, \hspace{1cm} y(x_1)=y_1, \hspace{1cm} ... \hspace{1cm}y(x_{N-1})=y_{N-1}$

Можем ли мы построить ответ, используя подобный механизм? Что, если BC содержат производные (будь то первого порядка или выше)?

PSS: я еще не думал о них, но буду признателен, если кто-то представит мне ссылку на них в комментариях.