Функция зеленых в EM с путаницей граничных условий

Поэтому я думал, что понимаю функции Грина, но теперь я не уверен. Я начну с объяснения (кратко), что, как мне кажется, я знаю, а затем задам вопрос.

Фон

Зеленые - это способ решения неоднородных дифференциальных уравнений, сначала решая реакцию на единичный импульс. Я знаю, что это инструмент , которому иногда можно придать физический смысл. Я боюсь, что эти два царства могут пересечься для меня там, где не должны.

л ^ ф ( Икс ) "=" с ( Икс )

л ^ г ( Икс ) "=" дельта ( Икс )

Используя их, мы можем получить следующее общее выражение для решения:

ф ( Икс ) "=" ∫ г ( Икс − Икс ′ ) с ( Икс ′ ) г Икс ′

Физически в ЭМ функция Грина выглядит как потенциал, обусловленный одним точечным зарядом. То есть мы можем построить наше решение для произвольного распределения заряда, «суммируя» все, чтобы создать наше известное распределение заряда.

∇ 2 Φ "=" − р ϵ

∇ 2 г ( Икс − Икс ′ ) "=" − дельта ( Икс − Икс ′ ) ϵ

Φ ( Икс ) "=" ∫ г ( Икс − Икс ′ ) р ( Икс ′ ) г Икс ′

Где

г ( Икс − Икс ′ ) "=" 1 | Икс − Икс ′ |

Когда мы начинаем говорить о граничных условиях, в определении нашей функции Грина возникает двусмысленность, поэтому мы можем иметь следующую форму:

г ( Икс − Икс ′ ) "=" 1 | Икс − Икс ′ | + Ф ( Икс − Икс ′ ) так что ∇ 2 Ф ( Икс − Икс ′ ) "=" 0

Я предполагаю, что это то, где это начинает становиться размытым для меня.

Вопрос:

Джексон 2.7 а) Рассмотрим полуплоскость z>0 с граничными условиями дрихлета на плоскости z=0. Мы хотим записать функцию зелени для этой ситуации.

Многие решения, которые я нашел, сразу переходят к функции зелени:

г ( Икс , Икс ′ ) "=" 1 | Икс − Икс ′ | − 1 | Икс − Икс ″ |

Но я не понимаю, как они сюда попали — говорят, это очевидно — но, учитывая то, что я понимаю, я должен что-то упустить.

Как эта зелень работает, если заряда нет? Кажется, они намекают на существование заряда и заряда образа. Похоже, мы пытаемся решить уравнение Лапласа, которое является однородным (поэтому я не понимаю здесь использование зелени). Я предполагаю, что граничные условия - это критическая вещь, которую я не понимаю полностью.

Не стесняйтесь исправлять любые мои неверные толкования и ошибки в целом.

Ответы (2)

Хорошие вопросы; Я уверен, что многие люди сбиты с толку этим материалом (поскольку я впервые использовал Джексона).

По сути, ваше замешательство сводится к тому, что вы внимательно относитесь к следующему факту:

Функция Грина для конкретной краевой задачи зависит от граничных условий.

В частности, допустим, у вас есть краевая задача Дирихле. Тогда, как показывает Джексон на стр. 39, соответствующая функция Грина для такой краевой задачи должна (а) удовлетворять уравнению Пуассона с источником дельта-функции в этой области и (б) обращаться в нуль на границе (см. уравнение 1.43) этой области. область, край. Если вы сможете найти функцию, обладающую этими двумя свойствами в рассматриваемой вами области, то вы нашли функцию Грина для задачи Дирихле.

Итак, если мы рассмотрим полупространство ( г > 0 ) с граничными условиями Дирихле при г "=" 0 , то ищем функцию, удовлетворяющую уравнению Пуассона в верхнем полупространстве с единичным источником и обращающуюся в нуль на границе, которая в данном случае равна г "=" 0 плюс «граница на бесконечности».

Вы можете сами убедиться, что функция

г ( Икс , Икс ′ ) "=" 1 | Икс − Икс ′ | − 1 | Икс + Икс ′ |
обладает этими свойствами. Интуиция для этого и причина, по которой большинство людей говорят, что вы можете просто сразу записать это, заключается в том, что первый член явно удовлетворяет уравнению Пуассона с единичным источником в верхнем полупространстве, где Икс ′ берется иметь г > 0 , а второй член соответствует наличию единичного источника в нижнем полупространстве с обратным знаком. Наше интуитивное представление о потенциалах точечных зарядов указывает на то, что это приведет к тому, что эта комбинация исчезнет при г "=" 0 . Кроме того, лапласиан второго слагаемого обращается в нуль в верхнем полупространстве, поэтому он не влияет на то, что в верхнем полупространстве эта функция удовлетворяет уравнению Пуассона с единичным источником при Икс ′ .

надеюсь понятно было? Я определенно могу попытаться очистить это или расширить это. Я знаю из личного опыта, что это запутанная тема!

Дополнение в ответ на комментарии.

Функции Грина связаны с набором двух данных (1) области (2) граничных условий в этой области. Функция 1 / | Икс − Икс ′ | является функцией Грина для (1) всего пространства с (2) граничными условиями Дирихле. Это связано с тем, что он (а) удовлетворяет уравнению Пуассона с единичным источником в этой области и (б) обращается в нуль на границе этой области (которая в данном случае находится на бесконечности). В общем, для любого региона р , для граничных условий Дирихле, если мы просто найдем функцию г ( Икс , Икс ′ ) что (а) удовлетворяет уравнению Пуассона с единичным источником, помещенным в эту область, и что (б) обращается в нуль на границе области, то мы нашли функцию Грина для этой задачи Дирихле (по определению функции Грина) .

Когда мы пытаемся найти функцию Грина для задачи Дирихле в верхнем полупространстве, мы сначала представляем себе помещение точечного заряда в верхнее полупространство так, чтобы выполнялось условие (а), это оставляет нам функцию 1 / | Икс − Икс ′ | где Икс ′ точка в верхнем полупространстве. Затем мы замечаем, что, хотя эта функция является подходящим решением уравнения Пуассона, она не обращается в нуль при Икс на границе, так что это не может быть функция Грина для этой задачи Дирихле. С этой функцией нужно сделать что-то такое, что не испортит того факта, что она удовлетворяет уравнению Пуассона с единичным источником в верхнем полупространстве, но чтобы результирующая функция дополнительно удовлетворяла соответствующему граничному условию.

Итак, мы спрашиваем себя: «Что мы можем сделать с этой функцией, чтобы (а) оставалось выполненным, но чтобы (б) также выполнялось в верхнем полупространстве. Мы замечаем, что если мы добавим любую функцию, которая удовлетворяет уравнению Лапласа ( лапласиан равный нулю) в верхнем полупространстве до 1 / | Икс − Икс ′ | , то полученная функция по-прежнему будет удовлетворять (а).

Какие виды функций удовлетворяют уравнению Лапласа в верхнем полупространстве?

Ответ заключается в том, что любое распределение заряда, плотность заряда которого отлична от нуля только за пределами верхнего полупространства, создаст потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа в верхнем полупространстве .

Итак, если мы сможем найти распределение заряда, которое при размещении в нижнем полупространстве создает потенциал, который при добавлении к 1 / | Икс − Икс ′ | обращает их сумму в нуль на границе, то их сумма будет удовлетворять свойствам, требуемым от функции Грина. Именно здесь мы замечаем, что точечная зарядка «изображения» будет делать именно это!

Все, что мы делаем с этими точечными зарядами, — это интуитивно понятный способ найти функцию, которая удовлетворяет соответствующим математическим свойствам (а) и (б), которым должна удовлетворять функция Грина для задачи Дирихле.

Я думаю, то, что вы сказали, совершенно ясно - мне просто нужно время, чтобы переварить это. Я лучше понимаю, как вступают в игру граничные условия. Возьмем, к примеру, уравнение 1.42. Если мы зададим условия дирихле так, что должно выполняться 1.43, то почему оба поверхностных интеграла не обращаются в нуль? (т.е. если г Д "=" 0 тогда почему нет г г н г н ′ "=" 0 тоже?) У меня нет проблем с тем, чтобы принять ваше заявление об интуиции, за исключением того факта, что я вообще не понимаю, как в дело вмешиваются заряды. Это где я применяю физический смысл к функции зелени там, где его нет?
Ладно, круто. Заметим, что если функция обращается в нуль на поверхности, то это не означает, что ее нормальная производная обращается в нуль на этой поверхности вообще (возьмем по аналогии любую вещественнозначную функцию действительного переменного, которая проходит через нуль, но наклон которой отличен от нуля при этом). точка). Интуитивное представление о точечных зарядах исходит из того факта, что 1 / | Икс − Икс ′ | есть с точностью до нормировки электрический потенциал точечного заряда в положении Икс ′ . Представьте, что выражение функции Грина в ответе умножается на д 4 π ϵ 0 ,
(продолжение) затем обратите внимание, что это становится суммой электрических потенциалов для точечного заряда д в Икс ′ плюс начисление баллов − д в − Икс ′ (так называемый имиджевый заряд). Если вы подумаете об этой физической ситуации, то сразу станет ясно, что потенциал вдоль г "=" 0 обращается в нуль для этой конфигурации зарядов, поэтому нам не нужно проводить вычисления, чтобы быть уверенными в том, что записанное нами выражение для функции Грина обращается в нуль при г "=" 0 как и должно быть для граничных условий Дирихле. Дайте мне знать, если это сделает интуицию более ясной.
Ну, из математики все ясно, но для проблемы я не понимаю, почему мы добавляем заряды, которых, так сказать, нет. 1 / | Икс − Икс ′ | является функцией зелени точечного заряда, и, конечно, симметричное сложение двух вместе создаст желаемое граничное условие в этом случае, но разве это не имеет разветвлений в другом месте? Например, является ли функция зелени для той же проблемы с РЕАЛЬНЫМ зарядом в г "=" + Икс одинаковый? Если нет, то я не понимаю разницы. Абстрактно, математически я в порядке. Физическое мышление, как описано выше, - вот где я сбит с толку.
(надеюсь, я ясно понял, в чем моя проблема, я не хочу повторять одно и то же снова и снова)
Конечно, это заняло некоторое время, но я понял! Я рад, что я экспериментатор, потому что эта штука пролетает над моей головой, не говоря уже о моей простой ошибке с угловым моментом/крутящим моментом несколько дней назад. Вы являетесь активом этого сайта, спасибо.
Я очень рад это слышать! На самом деле я сейчас занимаюсь TA для выпускного EM, и, насколько я могу судить, это было самой запутанной вещью для моих студентов, поэтому это обсуждение помогло мне подумать о том, как я мог бы лучше объяснить этот материал. Спасибо за положительное подтверждение!
Если это произойдет, я рекомендую упомянуть, что в неограниченной области функция Грина по совпадению (с точностью до нормировочного коэффициента) является потенциалом точечного заряда. Так что здесь это как бы имеет физический смысл. При использовании его для решения проблем, особенно когда мы рассматриваем границы или конечные области пространства, это просто инструмент. Мы используем наши условия, jackson 1.42 и нашу свободу в г , А именно г ( Икс , Икс ′ ) "=" 1 / | Икс − Икс ′ | + Ф ( Икс , Икс ′ ) где Ф должны удовлетворять уравнению Лапласа, чтобы найти решение. (Это кратко то, что я получил из ваших ответов и моего исследования). Высшее ТА было бы неплохо иметь.
Аааа хорошо я вижу. Да, это отличный момент; Я обязательно включу это в будущие объяснения. В моей школе в прошлом году только что ввели разделы обсуждения воли выпускников; Хотел бы я, чтобы у меня были разделы для обсуждения, когда я использовал Джексона...
@joshphysics Он не использует второе тождество Грина — просто использует общее определение функции Грина, чтобы инвертировать уравнение ∇ 2 Φ ( р ) "=" − р ( р ) / ϵ 0 . Так что мне просто интересно, почему вы не записали вторую личность Грина в этом ответе. Это нужно, чтобы понять, почему важно, чтобы функция Грина обращалась в нуль на границах.
@AlecS «Он не использует личность Грина ...»: кто? где? Я ничего не писал о тождествах Грина, потому что не считал важным описывать, почему функция Грина исчезает как граница; вопрос в том, какое отношение имеют функции Грина к потенциалам точечных зарядов.
@joshphysics Не говорю, что ты не прав или что-то в этом роде, я просто тупой ребенок. Но выбор Дирихле или Неймана исходит из второй личности Грина — и вам даже не нужно выбирать их. Существует бесконечно много функций Грина, которые решат данную задачу, но только несколько удобных. Он спрашивал, как найти функцию Грина. Ну, вы знаете общую функцию Грина для оператора Лапласа, а затем добавляете часть Ф удовлетворяющий ∇ 2 Ф "=" 0 везде в регионе, чтобы упростить ваши интегралы (во втором тождестве Грина).
@joshphysics Вопрос был в том, «как мне найти функцию Грина». Я не здесь...?
@AlecS Хорошо, по общему признанию, он просит больше, чем я только что сказал. Сказав это, я согласен с тем, что вам нужны тождества Грина, чтобы продемонстрировать, почему функция Грина для данной краевой задачи должна сама удовлетворять определенным граничным условиям. Но как только вы узнаете, каким граничным условиям удовлетворяет функция Грина для вашей задачи, теорема Грина вам больше не понадобится. Также выбор того, какой Ф выбрать не просто инструмент, чтобы сделать интегралы проще. Свободу необходимо использовать, чтобы функция Грина удовлетворяла соответствующим граничным условиям.
@AlecS В противном случае поверхностные интегралы просто не могут быть выполнены. Например, если у вас есть задача Дирихле, то вы не знаете нормальную производную потенциала на границе, поэтому вы просто не сможете выполнить поверхностный интеграл того куска, который содержит в себе нормальную производную, если только вы не выбрать функцию Грина, чтобы она обращалась в нуль на границе.
Как мы находим функцию зеленого, всегда ли используется метод изображений? Кроме того, если мы уже знаем функцию зеленого цвета, то в принципе мы знаем и его потенциал, так какой же тогда смысл идти по кругу? (как упоминалось в разделе Джексона 2.7)

Просто хотел добавить последний пункт, чтобы прояснить это для вас. Потенциал точечного заряда и функция Грина для вашей задачи совпадают с точностью до константы нормировки. В комментарии вы говорите, что это совпадение; Это не так, это физическое!

Возьми свое уравнение ∇ 2 Φ "=" − р ϵ , и предположим, что вы хотите, чтобы плотность заряда в этом уравнении была плотностью точечного заряда. Что бы вы подставили для плотности заряда точечного заряда? Что ж, она существует только в одной точке пространства, и способ, которым мы выражаем плотности, существующие только в одной точке, заключается в использовании дельта-функций. Итак, за точечный заряд р ∼ д дельта ( | Икс − Икс ′ | ) . Не так важны точные константы пропорциональности, как наличие дельта-функции в плотности заряда. Теперь вы можете видеть, что плотность заряда точечного заряда, подставленная в уравнение, дает вам дифференциальное уравнение для функции Грина с точностью до таких констант, как π и ϵ .

Повторим еще раз: плотность точечных зарядов пропорциональна их заряду и дельта-функции, поэтому говорить о функциях Грина и реакциях на точечные заряды эквивалентно.

Я сказал совпадение, так как это было для меня запутанным моментом - когда оно физическое, а когда нет. Для меня очень интуитивно понятно: давайте построим распределение заряда по дельтам Дирака. Затем прыгаем с зелени на свертку G и р . Однако спасибо за разъяснение!
Функция зеленых в EM с путаницей граничных условий
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v