Решение дифференциального уравнения балки под подвижной нагрузкой с использованием функций Грина

Question

Решение дифференциального уравнения балки под подвижной нагрузкой с использованием функций Грина

Физика
конструкционная балка
зеленые функции
граничные условия
математическая физика
дифференциальные уравнения

Лофаиф

я начал работать над этим документом , и я не понял одну его часть, проблема в следующем:

Решите это уравнение, используя зеленые функции:

$Е я \frac{\partial^{4} у (Икс, т)}{\partial {Икс}^{4}} + мю \frac{\partial^{2} у (Икс, т)}{\partial т^{2}} "=" Ф (Икс, т) : (1)$ $EI {\partial^4 y(x,t)\over\partial x^4}+\mu {\partial^2y(x,t)\over\partial t^2}= F(x,t) :(1)$ $Ф (Икс, т) "=" п дельта (Икс - ты)$ $F(x,t)= P\delta(x-u)$ с $\int_{-\infty}^\infty\delta(x-x_0)f(x)dx = f(x_0)$

$\delta$ — дельта-функция Дирака, P — амплитуда приложенной нагрузки, а $u(t)=v\, t$ положение груза.

первоначальные условия :

$\frac{\partial^{3} у (Икс, т)}{\partial {Икс}^{3}} "=" к_{л} у (Икс, т)$ ${\partial^3 y(x,t)\over\partial x^3}=k_ly(x,t)$ ,

$\frac{\partial^{2} у (Икс, т)}{\partial {Икс}^{2}} "=" к_{т} \frac{\partial у (Икс, т)}{\partial Икс}$ ${\partial^2 y(x,t)\over\partial x^2}=k_t{\partial y(x,t)\over\partial x}$ ,

Для $x=0 , l$ :

$у (Икс, т) "=" \frac{\partial у (Икс, т)}{\partial т} "=" 0$ $y(x,t)= {\partial y(x,t)\over\partial t}=0$

$l$ длина балки и $k_t$ и $k_l$ константы

и в газете было сказано, что:

Используя динамическую функцию Грина, решение уравнения $(1)$ можно записать как:
$у (Икс, т) "=" г (Икс, ты) п : (2)$ $y(x,t) = G(x,u)P : (2)$ где $G(x,u)$ является решением дифференциального уравнения: $\frac{д^{4} у (Икс)}{д {Икс}^{4}} - ψ^{4} у (Икс) "=" дельта (Икс - ты) : (3)$ ${d^4y(x)\over dx^4} - \psi ^4 y(x) = \delta(x-u):(3)$ в ведьме: $\psi ^4 = {\omega ^2 \mu \over EI}$

Мой вопрос в том, как они упростили его до формы $(2)$ где $G$ является решением $(3)$ ?

Тримок

Кажется, что вам нужно сделать какое-то преобразование Фурье для t, но проблема в том, что мы не знаем преобразования Фурье для

δ (x - u (t))

$\delta(x - u(t))$ , потому что мы не знаем

u (t)

$u(t)$ .

Е я \frac{\partial^{4} у (Икс, т)}{\partial {Икс}^{4}} + мю \frac{\partial^{2} у (Икс, т)}{\partial т^{2}} "=" п дельта (Икс - ты (т))

$EI {\partial^4 y(x,t)\over\partial x^4}+\mu {\partial^2y(x,t)\over\partial t^2}= P \delta(x -u(t))$ Путем преобразования Фурье по t получим (зная, что

ω

$\omega$ имеет только возможные дискретные значения из-за граничных условий):

Е я \frac{\partial^{4} у (Икс, ю)}{\partial {Икс}^{4}} - мю ю^{2} у (Икс, ю) "=" п * Ф о ты р я е р Т р а н с ф о р м [дельта (Икс - ты (т)] (ю)

$EI {\partial^4 y(x,\omega)\over\partial x^4} -\mu \omega^2 y(x,\omega)= P* ~Fourier~ Transform [\delta(x - u(t)] (\omega)$

Дилатон

Почему у этого есть близкие голоса? Это законный технический вопрос!

Лофаиф

мы знаем это

v

$v$ является константой, поэтому

u (t) = t v

$u(t)=tv$

Ответы (1)

Решение дифференциального уравнения балки под подвижной нагрузкой с использованием функций Грина

Кажется, что вам нужно сделать какое-то преобразование Фурье для t, но проблема в том, что мы не знаем преобразования Фурье для $\delta(x - u(t))$ , потому что мы не знаем $u(t)$ . $Е я \frac{\partial^{4} у (Икс, т)}{\partial {Икс}^{4}} + мю \frac{\partial^{2} у (Икс, т)}{\partial т^{2}} "=" п дельта (Икс - ты (т))$ $EI {\partial^4 y(x,t)\over\partial x^4}+\mu {\partial^2y(x,t)\over\partial t^2}= P \delta(x -u(t))$ Путем преобразования Фурье по t получим (зная, что $\omega$ имеет только возможные дискретные значения из-за граничных условий): $Е я \frac{\partial^{4} у (Икс, ю)}{\partial {Икс}^{4}} - мю ю^{2} у (Икс, ю) "=" п * Ф о ты р я е р Т р а н с ф о р м [дельта (Икс - ты (т)] (ю)$ $EI {\partial^4 y(x,\omega)\over\partial x^4} -\mu \omega^2 y(x,\omega)= P* ~Fourier~ Transform [\delta(x - u(t)] (\omega)$
Почему у этого есть близкие голоса? Это законный технический вопрос!
мы знаем это $v$ является константой, поэтому $u(t)=tv$

игфиз · Answer 1

Преобразование Фурье $y\left(x,t\right)$ от времени до частотной области определяется выражением $Y\left(x,\omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}y\left(x,t\right)e^{i\omega t}dt$ и удовлетворяет дифференциальному уравнению:

Е я \frac{\partial^{4} Д (Икс, ю)}{\partial {Икс}^{4}} + мю {(я ю)}^{2} Д (Икс, ю) "=" \int_{- \infty}^{\infty} п дельта (Икс - ты (т)) е^{я ю т} д т

$EI\frac{\partial^{4}Y\left(x,\omega\right)}{\partial x^{4}}+\mu\left(i\omega\right)^{2}Y\left(x,\omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}P\delta\left(x-u\left(t\right)\right)e^{i\omega t}dt$

Теперь используйте это свойство дельта-функции:

дельта (г (с)) "=" \sum_{я} \frac{дельта (с - с_{я})}{| г^{'} (с_{я}) |}

$\delta\left(g\left(s\right)\right)=\sum_{i}\frac{\delta\left(s-s_{i}\right)}{\left|g'\left(s_{i}\right)\right|}$

где $s_{i}$ являются корнями функции, так что $g\left(s_{i}\right)=0$ .

\int_{- \infty}^{\infty} п дельта (г (т)) е^{я ю т} д т "=" \int_{- \infty}^{\infty} п \sum_{я} \frac{дельта (т - т_{я})}{| г^{'} (т_{я}) |} е^{я ю т} д т "=" п \sum_{я} \frac{е^{я ю т_{я}}}{| г^{'} (т_{я}) |}

$\int_{-\infty}^{\infty}P\delta\left(g\left(t\right)\right)e^{i\omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}P\sum_{i}\frac{\delta\left(t-t_{i}\right)}{\left|g'\left(t_{i}\right)\right|}e^{i\omega t}dt=P\sum_{i}\frac{e^{i\omega t_{i}}}{\left|g'\left(t_{i}\right)\right|}$

Тогда у нас есть:

\frac{\partial^{4} Д (Икс, ю)}{\partial {Икс}^{4}} - \frac{мю ю^{2}}{Е я} Д (Икс, ю) "=" \frac{п}{Е я} \sum_{я} \frac{е^{я ю т_{я}}}{| г^{'} (т_{я}) |}

$\frac{\partial^{4}Y\left(x,\omega\right)}{\partial x^{4}}-\frac{\mu\omega^{2}}{EI}Y\left(x,\omega\right)=\frac{P}{EI}\sum_{i}\frac{e^{i\omega t_{i}}}{\left|g'\left(t_{i}\right)\right|}$

Решение функции Грина этого уравнения:

Д (Икс, ю) "=" \int_{- \infty}^{\infty} \frac{п}{Е я} \sum_{я} \frac{е^{я ю т_{я}}}{| г^{'} (т_{я}) |} г (Икс, {Икс}^{'}) д {Икс}^{'}

$Y\left(x,\omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P}{EI}\sum_{i}\frac{e^{i\omega t_{i}}}{\left|g'\left(t_{i}\right)\right|}G\left(x,x'\right)dx'$ Функция Грина удовлетворяет уравнению:

\frac{\partial^{4} г (Икс, {Икс}^{'})}{\partial {Икс}^{4}} - ψ^{4} г (Икс, {Икс}^{'}) "=" дельта (Икс - {Икс}^{'})

$\frac{\partial^{4}G\left(x,x'\right)}{\partial x^{4}}-\psi^{4}G\left(x,x'\right)=\delta\left(x-x'\right)$

Теперь нам нужно инвертировать преобразование Фурье.

у (Икс, т) "=" \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{п}{Е я} \sum_{я} \frac{е^{я ю т_{я}}}{| г^{'} (т_{я}) |} г (Икс, {Икс}^{'}) е^{- я ю т} д {Икс}^{'} д ю "="

$y\left(x,t\right) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P}{EI}\sum_{i}\frac{e^{i\omega t_{i}}}{\left|g'\left(t_{i}\right)\right|}G\left(x,x'\right)e^{-i\omega t}dx'd\omega =$

"=" \frac{п}{Е я} \sum_{я} {\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{| г^{'} (т_{я}) |} г (Икс, {Икс}^{'}) е^{я ю (т_{я} - т)} д {Икс}^{'} д ю} "="

$=\frac{P}{EI}\sum_{i}\left\{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left|g'\left(t_{i}\right)\right|}G\left(x,x'\right)e^{i\omega\left(t_{i}-t\right)}dx'd\omega\right\} =$

"=" \frac{п}{Е я} \sum_{я} \frac{1}{| г^{'} (т_{я}) |} \int_{- \infty}^{\infty} г (Икс, {Икс}^{'}) дельта (т - т_{я}) д {Икс}^{'}

$=\frac{P}{EI}\sum_{i}\frac{1}{\left|g'\left(t_{i}\right)\right|}\int_{-\infty}^{\infty}G\left(x,x'\right)\delta\left(t-t_{i}\right)dx'$

Где определение: $\delta\left(t-t'\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega\left(t-t'\right)}d\omega$ , был использован. Так это для генерала $g\left(t\right)$ . Сейчас если $g\left(t\right)=x-vt$ , затем:

у (Икс, т) "=" \frac{п}{Е я} \frac{1}{в} \int_{- \infty}^{\infty} г (Икс, {Икс}^{'}) дельта (т - \frac{{Икс}^{'}}{в}) д {Икс}^{'} "=" \frac{п}{Е я} г (Икс, в т)

$y\left(x,t\right) = \frac{P}{EI}\frac{1}{v}\int_{-\infty}^{\infty}G\left(x,x'\right)\delta\left(t-\frac{x'}{v}\right)dx' = \frac{P}{EI}G\left(x,vt\right)$

Не знаю, почему на бумаге нет $EI$ фактор.

+1 за общую формулу. Я тоже думаю, что в статье есть недостающий фактор.
спасибо за ваш ответ, сэр, у меня есть небольшой вопрос .. почему $\psi ^4 = {\omega ^2 m \over EI }$ и не ${\mu \omega ^2 \over EI}$ ??
я думаю, что это может быть опечатка. в этой статье есть и другие. Кроме того, я просмотрел ссылку 8 статьи, которую вы разместили, и она имеет правильный $\psi$ определение.

Решение дифференциального уравнения балки под подвижной нагрузкой с использованием функций Грина

Лофаиф

Тримок

Дилатон

Лофаиф

Ответы (1)

игфиз

Тримок

Лофаиф

игфиз

Функция зеленых в EM с путаницей граничных условий

Как выбрать правильную функцию Грина?

Различные возможные решения волнового уравнения?

Уравнение звуковой волны: граничные условия Неймана

В чем именно смысл слабых формулировок и какова их цель?

Электростатическое поле на компактных поверхностях

Условия для определения функции Грина для явлений рассеяния

Есть ли физически значимый пример построения ряда решения относительно бесконечности обыкновенного дифференциального уравнения?

Влияние начального условия на функцию Грина

Существует ли «более строгий» вывод электростатических граничных условий?