Различные возможные решения волнового уравнения?

Волновое уравнение:

$$\nabla^2\psi(\mathbf{x},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial^2 \psi(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=f(\mathbf{x},t)$$

Тогда функция Грина

$$\nabla^2G(\mathbf{x},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial^2 G(\mathbf{x},t)}{\partial t^2}=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\delta(t-t')$$

Использование преобразования Фурье

$$(-k^2+\frac{\omega^2}{c})G(\mathbf{k},\omega)=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}'}e^{-i\omega t'}$$

Затем

$$G(\mathbf{x},t)=\int_{\mathbb{R}^4}\frac{e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{x}'-\mathbf{x})}e^{-i\omega(t'-t)}}{(-k^2+\frac{\omega^2}{c})}d^3k\,d\omega$$

Рассмотрим только интеграл в частотном пространстве

$$I_{\mathbb{R}}=\int_{\mathbb{R}}\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)}d\omega$$

Подынтегральная функция имеет два простых полюса в$\omega=\pm ck$и должно быть решено с помощью теоремы об остатках. Выберем запаздывающее решение ($t'<t$).

Если мой путь ($\Gamma$) представляет собой замкнутый полукруг, полюса не находятся внутри пути, поэтому у меня есть два варианта:

1. Переместите столбы:$\pm ck = \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\pm ck-i\varepsilon$с$\varepsilon\in \mathbb{R}^+$
2. Добавьте два маленьких полукруга на путь

Сначала воспользуемся методом (1), выбрав путь с полукругом ($SC$), замыкаясь в нижней комплексной плоскости, его вклад равен нулю.

$$I_{\Gamma}=I_{\mathbb{R}}+I_{SC}=I_{\mathbb{R}}=-2\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right) \tag{a}$$

Но если я сдвину полюса в верхней плоскости (т.е.$\pm ck = \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0}\pm ck+i\varepsilon$с$\varepsilon\in \mathbb{R}^+$) на пути нет полюсов, поэтому

$$I_{\Gamma}=I_{\mathbb{R}}+I_{SC}=I_{\mathbb{R}}=0 \tag{b}$$

Вместо этого следует метод (2):

Если я выберу маленькие полукруги ($sc_\pm$) находиться в верхней плоскости, то полюса внутри$\Gamma$а потом

$$I_{\Gamma}=I_{\mathbb{R}}+I_{SC}+I_{sc_-}+I_{sc_+}=I_{\mathbb{R}}+I_{sc_-}+I_{sc_+}=-2\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right)$$

так

$$I_{\mathbb{R}}=I_{\Gamma}-I_{sc_-}-I_{sc_+}=-\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right) \tag{c}$$

потому что

$$I_{sc_\pm} = -\pi i\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},\pm ck\right)$$

Если я выберу маленькие полукруги ($sc_\pm$) находиться в нижней плоскости, внутри нет полюсов$\Gamma$а потом я снова получаю

$$I_{\mathbb{R}}=I_{\Gamma}-I_{sc_-}-I_{sc_+}=-\pi i\left(\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},+ck\right)+\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},-ck\right)\right) \tag{d}$$

потому что в этом случае

$$I_{sc_\pm} = \pi i\mathrm{Res}\left(\frac{e^{-i\omega(t-t')}}{(\omega^2-c^2k^2)},\pm ck\right)$$

Затем я нашел три разных решения, первое должно быть правильным, но почему? Как мне его выбрать? Я делаю что-то неправильно?

---

Может быть, эту аналогию и не следует проводить, но википедия утверждает, что в решении уравнения Клейна-Гордона (очень похожего на волновое уравнение) это одно и то же: добавить маленькую полуокружность вокруг полюса или изменить подынтегральное выражение, добавив небольшой член$\varepsilon \to 0$к полюсам. Почему мой случай должен быть другим?