Использование частных производных для уравнений Максвелла в искривленном пространстве-времени

Question

Использование частных производных для уравнений Максвелла в искривленном пространстве-времени

Джей Джей Мэлоун

Мне трудно понять, когда и почему мы иногда можем использовать частные производные вместо ковариантных производных для электродинамики в искривленном пространстве-времени. И как интерпретировать/интуитивно понимать, что происходит.

Ниже приведены подробные сведения, но краткое содержание таково:

Почему мы можем заменить ковариант на частные производные в исходных уравнениях и уравнении сохранения заряда?
Кроме того, у меня возникают проблемы с пониманием того, что именно означает, что уравнения Максвелла кажутся независимыми от символов Кристоффеля, но кривых блеска. И еще больше сбивает с толку потенциальная возможность внезапного использования ковариантной производной, а кривизна Риччи даже фигурирует явно! Уравнения Максвелла как бы "вводят в заблуждение"/"скрывают" от нас тонкости? Что происходит?

В статье в Википедии «Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени» без вычислений утверждается, что, несмотря на использование частных производных, уравнения инвариантны относительно произвольных криволинейных преобразований координат. Из-за симметрии нетрудно увидеть, что:

Ф_{а б} "=" \nabla_{а} А_{б} - \nabla_{б} А_{а} "=" (\partial_{а} А_{б} - {Г^{с}}_{а б} А_{с}) - (\partial_{б} А_{а} - {Г^{с}}_{б а} А_{с}) "=" \partial_{а} А_{б} - \partial_{б} А_{а} - {Г^{с}}_{а б} А_{с} + {Г^{с}}_{б а} А_{с}

$F_{ab} \, = \, \nabla_a A_b \, - \, \nabla_b A_a = (\partial_a A_b -{\Gamma^c}_{ab} A_c) - (\partial_b A_a - {\Gamma^c}_{ba} A_c) = \partial_a A_b - \partial_b A_a - {\Gamma^c}_{ab} A_c + {\Gamma^c}_{ba} A_c$

А последние два члена сокращаются, потому что символы Кристоффеля симметричны в нижних индексах. Точно так же нетрудно заметить, что это работает и для уравнения Фарадея – Гаусса.

\nabla_{λ} Ф_{мю ν} + \nabla_{мю} Ф_{ν λ} + \nabla_{ν} Ф_{λ мю} "=" \partial_{λ} Ф_{мю ν} + \partial_{мю} Ф_{ν λ} + \partial_{ν} Ф_{λ мю} "=" 0

$\nabla_\lambda F_{\mu \nu} + \nabla_\mu F_{\nu \lambda} + \nabla_\nu F_{\lambda \mu} = \partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial _\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu} = 0$ если я расширю символы Кристоффеля, используя:

\nabla_{γ} Ф_{α β} "=" \partial_{γ} Ф_{α β} - {Г^{мю}}_{α γ} Ф_{мю β} - {Г^{мю}}_{β γ} Ф_{α мю} .

$\nabla_\gamma F_{\alpha \beta} \, = \, \partial_\gamma F_{\alpha \beta} - {\Gamma^{\mu}}_{\alpha \gamma} F_{\mu \beta} - {\Gamma^{\mu}}_{\beta \gamma} F_{\alpha \mu}.$

Но я не могу понять, как это работает для исходного уравнения:

Д^{мю ν} "=" \frac{1}{{мю}_{0}} г^{мю α} Ф_{α β} г^{β ν} \sqrt{- г} {Дж}^{мю} "=" \partial_{ν} Д^{мю ν}

$\mathcal{D}^{\mu\nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu\alpha} \, F_{\alpha\beta} \, g^{\beta\nu} \, \sqrt{-g} \\ J^{\mu} \, = \, \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu}$

А позже они также используют частную производную вместо ковариантной производной исходного уравнения:

\partial_{мю} {Дж}^{мю} "=" \partial_{мю} \partial_{ν} Д^{мю ν} "=" 0

$\partial_\mu J^{\mu} \, = \, \partial_\mu \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu} = 0$

Может ли кто-нибудь показать мне, почему мы можем поменять местами ковариантные производные для частных производных здесь?

Во-вторых, мне трудно понять, как это вообще возможно. Если уравнения Максвелла не зависят от символов Кристоффеля, то как свет может искривляться? И почему, когда мы пишем его с помощью потенциалов, кажется, что теперь он зависит от символов Кристоффеля и даже от кривизны Риччи?

Например, плоское пространство-время, уравнения инерциальной системы отсчета:

\partial^{мю} \partial_{мю} А^{ν} "=" - {мю}_{0} {Дж}^{ν}

$\partial^\mu \partial_\mu A^\nu = - \mu_0 J^\nu$ по-видимому, получается обобщить:

\nabla^{мю} \nabla_{мю} А^{ν} "=" - {мю}_{0} {Дж}^{ν} + {р^{ν}}_{мю} А^{мю}

$\nabla^\mu \nabla_\mu A^\nu = - \mu_0 J^\nu + {R^{\nu}}_{\mu} A^{\mu}$ Итак, теперь нам нужны ковариантные производные и даже явный член кривизны. У меня возникли проблемы с пониманием / согласованием этого с уравнениями Максвелла, которые кажутся независимыми от этого. Уравнения Максвелла как бы "вводят в заблуждение"/"скрывают" от нас тонкости? Что происходит?

Пингвин

Что касается исходных условий и ответа с обозначениями, которые вам кажутся удобными, я думаю, вы, возможно, просто забыли, что тензор имеет вес +1. Таким образом, при расширении с помощью символов Кристоффеля появляется дополнительный термин:

\nabla_{a} D^{a b} = \partial_{a} D^{a b} + {Γ^{a}}_{c a} D^{c b} + {Γ^{b}}_{c a} D^{a c} - {Γ^{c}}_{c a} D^{a b}

$\nabla_a D^{ab} = \partial_a D^{ab} + {\Gamma^a}_{ca} D^{cb} + {\Gamma^b}_{ca} D^{ac} - {\Gamma^c}_{ca} D^{ab}$ . Второй член Кристоффеля исчезает из-за симметрии в кристоффеле по сравнению с антисимметрией в

D

$D$ . Два других аннулируют друг друга после рассмотрения произвольности повторяющихся индексных меток и симметрии символа Кристоффеля.

Ответы (2)

Использование частных производных для уравнений Максвелла в искривленном пространстве-времени

Что касается исходных условий и ответа с обозначениями, которые вам кажутся удобными, я думаю, вы, возможно, просто забыли, что тензор имеет вес +1. Таким образом, при расширении с помощью символов Кристоффеля появляется дополнительный термин: $\nabla_a D^{ab} = \partial_a D^{ab} + {\Gamma^a}_{ca} D^{cb} + {\Gamma^b}_{ca} D^{ac} - {\Gamma^c}_{ca} D^{ab}$ . Второй член Кристоффеля исчезает из-за симметрии в кристоффеле по сравнению с антисимметрией в $D$ . Два других аннулируют друг друга после рассмотрения произвольности повторяющихся индексных меток и симметрии символа Кристоффеля.

Бенце Рашко · Answer 1

Замена ковариантов частичными:

Уравнение источника, которое вы цитируете, включает кососимметричную тензорную плотность.

Вы можете знать, что если $\nabla$ является связью Леви-Чивиты, можно вычислить дивергенции векторных полей без использования коэффициентов связи/символов Кристоффеля:

\nabla_{мю} {Икс}^{мю} "=" \frac{1}{\sqrt{- г}} \partial_{мю} ({Икс}^{мю} \sqrt{- г}) .

$\nabla_\mu X^\mu=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\mu(X^\mu\sqrt{-g}).$

Теперь позвольте $\mathcal{J}^\mu=X^\mu\sqrt{-g}$ быть векторной плотностью. Затем

(\nabla_{мю} {Икс}^{мю}) \sqrt{- г} "=" \nabla_{мю} ({Икс}^{мю} \sqrt{- г}) "=" \nabla_{мю} {Дж}^{мю} "=" \partial_{мю} ({Икс}^{мю} \sqrt{- г}) "=" \partial_{мю} {Дж}^{мю},

$(\nabla_\mu X^\mu)\sqrt{-g}=\nabla_\mu(X^\mu\sqrt{-g})=\nabla_\mu\mathcal{J}^\mu=\partial_\mu(X^\mu\sqrt{-g})=\partial_\mu\mathcal{J}^\mu,$ поэтому поля векторной плотности можно частично дифференцировать.

Однако, как оказывается, для произвольных антисимметричных тензорных полей (k, 0)-типа ситуация одинакова : пусть $F^{\mu\nu}$ быть таким полем. Затем

\nabla_{ν} Ф^{мю ν} "=" \partial_{ν} Ф^{мю ν} + Г_{ν о}^{мю} Ф^{о ν} + Г_{ν о}^{ν} Ф^{мю о},

$\nabla_\nu F^{\mu\nu}=\partial_\nu F^{\mu\nu}+\Gamma^\mu_{\ \nu\sigma}F^{\sigma\nu}+\Gamma^{\nu}_{\ \nu\sigma}F^{\mu\sigma},$ но второй член здесь исчезает, потому что

Γ

$\Gamma$ симметрична по нижним индексам, но

F

$F$ кососимметрична по верхним индексам, поэтому у нас остается

\nabla_{ν} Ф^{мю ν} "=" \partial_{ν} Ф^{мю ν} + Г_{ν о}^{ν} Ф^{мю о} "=" \partial_{ν} Ф^{мю ν} + \partial_{о} п \sqrt{- г} Ф^{мю о} "=" \frac{1}{\sqrt{- г}} \partial_{ν} (Ф^{мю ν} \sqrt{- г}) .

$\nabla_\nu F^{\mu\nu}=\partial_\nu F^{\mu\nu}+\Gamma^\nu_{\ \nu\sigma}F^{\mu\sigma}=\partial_\nu F^{\mu\nu}+\partial_\sigma\ln\sqrt{-g}F^{\mu\sigma} \\ =\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_\nu(F^{\mu\nu}\sqrt{-g}).$

Определение $\mathcal{F}^{\mu\nu}=F^{\mu\nu}\sqrt{-g}$ дает

\nabla_{ν} Ф^{мю ν} "=" \partial_{ν} Ф^{мю ν} .

$\nabla_\nu \mathcal{F}^{\mu\nu}=\partial_\nu \mathcal{F}^{\mu\nu}.$

Зависимость уравнений Максвелла от (псевдо)римановой структуры:

Помните, что фундаментальное поле здесь $A_\mu$ , которое является ковекторным полем. Единственное уравнение Максвелла, не зависящее от римановой структуры, это $\partial_{[\mu} F_{\nu\sigma]}=0$ , потому что вы можете заменить коварианты здесь частичными для косой симметрии.

Также помните, что $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu$ также корректно определен без ковариантов.

Однако когда мы добираемся до исходного уравнения, все меняется, потому что

для определения дивергенции нужны верхние индексы, однако $F$ имеет более низкие индексы по своей природе, поэтому нам нужна метрика для повышения индексов;
вы можете заменить коварианты частичными там, только если вы умножаете на $\sqrt{-g}$ для создания плотности. Что, конечно, зависит от метрики.

Таким образом, вы можете уклониться от использования связи (что отлично подходит для вычислений), но вы не можете отказаться от использования метрики, поэтому уравнения Максвелла абсолютно не топологичны.

Отступление о дифференциальных формах:

Вы должны прочитать о дифференциальных формах. Я пытаюсь придумать ссылку, которая должна быть легко читаема физиком. Вероятно, книга Фландерса хороша. В противном случае книги Энтони Зи по общей теории относительности и КТП также содержат дифференциальные формы, но только в эвристической манере. В книге Шона Кэрролла по GR они также хорошо описаны.

По сути, дифференциальные формы представляют собой полностью антисимметричные ковариантные тензорные поля. Вместо использования обозначения индекса, как, например, $\omega_{\mu_1,...,\mu_k}$ для их обозначения обычно используется «абстрактное» обозначение как $\omega=\sum_{\mu_1<...<\mu_k}\omega_{\mu_1...\mu_k}\mathrm{d}x^{\mu_1}\wedge...\wedge\mathrm{d}x^{\mu_k}$ , где база выписана явно. Символы клина представляют собой кососимметричные тензорные произведения.

Дифференциальные формы хороши тем, что они обобщают векторное исчисление на более высокие измерения, произвольные многообразия, а также на случаи, когда у вас нет метрики. Дифференциальные формы можно дифференцировать ( $\omega\mapsto\mathrm{d}\omega$ ), где " $\mathrm{d}$ оператор, называемый внешней производной, превращает $k$ - сформировать в $k+1$ form без необходимости в метрике или соединении и обобщает grad, div и curl, все в одном.

Обобщены также интегральные теоремы Грина, Гаусса и Стокса.

Дело в том, что при наличии еще и метрики теория дифференциальных форм обогащается. Вы получаете возможность превратить $k$ - превращается в $n-k$ формы ( $n$ является размерностью вашего многообразия), а также для определения «двойственной» операции над внешней производной, называемой кодифференциалом. Кодифференциал по существу приводит понятие дивергенции к дифференциальным формам.

Уравнения Максвелла, записанные в дифференциальных формах, имеют вид

г Ф "=" 0 г^{†} Ф "=" к Дж,

$\mathrm{d}F=0 \\ \mathrm{d}^\dagger F=kJ,$ где

d^{†}

$\mathrm{d}^\dagger$ является кодифференциалом, и

k

$k$ какая-то константа, о которой я сейчас не беспокоюсь.

Я отмечаю две вещи:

The $F$ 2-форма напряженности поля определяется выражением $F=\mathrm{d}A$ , где $A$ является 4-потенциалом. Внешняя производная удовлетворяет $\mathrm{d}^2=0$ (думать о $\text{div}\ \text{curl}=0$ и $\text{curl}\ \text{grad}=0$ ), поэтому с потенциалами первое уравнение имеет вид $\mathrm{d}F=\mathrm{d}^2A=0$ , что тривиально верно.
Первое уравнение содержит только $\mathrm{d}$ , который корректно определен без метрики. Второе уравнение зависит от кодифференциала $\mathrm{d}^\dagger$ , что зависит от метрики. Вот ваша метрическая зависимость!

Объясните минус, пожалуйста. Ответ отвечает на вопрос и является фактически правильным.

Никто · Answer 2

Ответ Бенце Ракско великолепен! Я хочу добавить кое-что. Вы говорите, что:

«В статье в Википедии «Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени» без вычислений утверждается, что, несмотря на использование частных производных, уравнения инвариантны относительно произвольных криволинейных преобразований координат. Из-за симметрии нетрудно заметить, что:

$F_{ab} \, = \, \nabla_a A_b \, - \, \nabla_b A_a = (\partial_a A_b -{\Gamma^c}_{ab} A_c) - (\partial_b A_a - {\Gamma^c}_{ba} A_c) = \partial_a A_b - \partial_b A_a - {\Gamma^c}_{ab} A_c + {\Gamma^c}_{ba} A_c$

«И последние два члена сокращаются, потому что символы Кристоффеля симметричны в нижних индексах».

Тензор Фарадея $\textbf{is defined:}$ $F_{μν} = \partial_{μ}Α_{ν} - \partial_{ν}Α_{μ}$ . Допустим, мы допускаем кручение. Тогда мы не можем сказать: $\Gamma^{k}_{μν} = Γ^{k}_{νμ}$ так как нижние индексы теперь не коммутируют. $\textbf{This does not mean that the Faraday tensor will change.}$ Я хочу сказать, что тензор Фарадея принимает форму $F_{μν} = \partial_{μ}Α_{ν} - \partial_{ν}Α_{μ}$ не потому, что «символы Кристоффеля симметричны в нижних индексах». Это потому, что это определено таким образом.

Использование частных производных для уравнений Максвелла в искривленном пространстве-времени

Джей Джей Мэлоун

Пингвин

Ответы (2)

Бенце Рашко

Бенце Рашко

Никто

Внешние (ковариантные) производные и электромагнетизм

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

Доказательство постоянной кривизны

Что такое тензор энергии напряжения?

Приложения общей теории относительности, отличные от гравитации

Разные подписи

Идентификация Бьянки с использованием нулевой тетрады

Вариация относительно RabcdRabcdR_{abcd}? Как вычислить∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)∂R∂Rabcd=12(gacgbd−gadgbc)\frac{\partial R}{\partial R_{abcd}}=\frac{1}{2}( g^{ac} g^{bd} - g^{ad} g^{bc})?

Каковы аналоги FμνFμνF_{\mu\nu} в общей теории относительности?

Как вычислить объем в искривленном пространстве?