Вопрос про эффект Доплера.

Прежде чем я начну, позвольте мне просто сказать, что эта тема намного сложнее, чем вы представили и что я буду показывать. Проблема здесь в том, что в конечном счете все, что вы сделали и что я буду делать (в меньшей степени), основано на приближениях и предположениях. Из-за этого иногда бывает трудно понять истинную физику, лежащую в основе, если рассматривать только «простые» версии этих уравнений.

Вы говорите, что, как вы слышали, источником обоих является получение сигнала и его отражение, что совершенно верно. Давайте рассмотрим более простой случай, когда полицейский использует радар для отслеживания скорости автомобиля (чтобы нам не приходилось втягивать более сложные концепции орбитального движения спутников, дисперсионных соотношений и т. д.). Рядом с вами стоит полицейский. обочина дороги с радарной пушкой, стреляющей радарными волнами некоторой частоты$f_o$на машине, когда она удаляется от него (обратите внимание, что я буду использовать частоту, но она полностью аналогична длине волны, предполагая простое соотношение дисперсии). Эта волна достигает автомобиля, и первый пик волны достигает автомобиля. Затем автомобиль успевает немного продвинуться вперед к тому моменту, когда следующий пик ударит по автомобилю. С точки зрения автомобиля, из-за его относительного движения по отношению к полицейскому, частота волны, падающей на автомобиль, была доплеровски сдвинута на новую частоту,$f_1$. Эта новая частота определяется уравнением Доплера

$$\frac{f_1}{f_o} = \left(1+\frac{v}{c}\right)$$

Обратите внимание, что это уравнение такое же, как то, что вы представили, за исключением того, что оно использует частоту вместо длины волны. Так что теперь наша машина была поражена этими частотно-сдвинутыми волнами. Теперь он будет отражать эти волны обратно в полицейского. Процесс отражения эффективно превращает автомобиль в излучатель частоты$f_1$но так как он явно движется по отношению к полицейскому участку, полицейский получает частоту с доплеровским сдвигом, которую я назову$f_2$. Так как скорость между автомобилем и полицейским по-прежнему$v$, мы знаем, что уравнение Доплера для сдвига частоты отражения имеет вид

$$\frac{f_2}{f_1} = \left(1+\frac{v}{c}\right)$$

Теперь полицейский получает обратно частоту$f_2$, но изначально он излучал$f_o$, поэтому он хочет знать скорость, вызвавшую сдвиг от$f_o$к$f_2$. К счастью, это можно определить, объединив две указанные выше смены.

$$\frac{f_2}{f_o} = \frac{f_2}{f_1}\frac{f_1}{f_o} = \left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1+\frac{v}{c}\right)$$

$$\frac{f_2}{f_o} = \left(1+\frac{v}{c}\right)^2 = 1 + 2\frac{v}{c} + \frac{v^2}{c^2}$$

На данном этапе делаем предположение, что$v^2/c^2 \ll v/c$и этим членом второго порядка можно смело пренебречь. Затем мы заканчиваем с

$$\frac{f_2-f_o}{f_o} = \frac{\Delta f}{f_o} = \frac{2v}{c}$$

То, что измеряет полицейский, используя радар и применяя уравнение Доплера,$2v$, но, конечно, мы знаем, что это в два раза больше скорости автомобиля, поэтому, конечно, чтобы получить фактическую скорость автомобиля, скорость, измеренную радаром, нужно разделить на два. Как вы можете видеть, эта цифра 2 возникает из-за двойного приема и отражения радиоволн автомобилем. Тот же самый принцип работает, говорим ли мы о радарах и автомобилях или о спутниках и планетах.

---

_{Примечание. Как я сказал в начале, все гораздо сложнее, чем я представил. Например, мы предполагали, что$v^2/c^2 \ll v/c$. На самом деле, чтобы получить более правильный ответ, вы бы не хотели отбрасывать этот термин, и вы обнаружите, что$v_r \ne 2v_p$как вы указали в своем ответе, и на самом деле это нечто большее. Все это еще более усугубляется тем фактом, что уравнение Доплера, с которого я начал, уже содержало некоторые встроенные предположения. Полностью правильное уравнение является более сложным.}