Восхождение на конечной скорости минимизирует потери? Но почему? И "чего"?

Подъем с предельной скоростью является наиболее экономичной скоростью для набора (вертикальной) высоты в устойчивом состоянии, так что плотность, скорость, гравитационное ускорение и другие параметры остаются постоянными во время подъема.

Чтобы доказать это, я сначала должен определить требуемую тягу,$F$, который должен преодолеть гравитацию и сопротивление (такие, чтобы сумма всех сил равнялась нулю) и может быть рассчитан следующим образом:

$$F = mg + \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A,$$

куда$m$масса ракеты,$\rho$плотность атмосферы,$v$скорость,$C_D$коэффициент аэродинамического сопротивления и$A$площадь поперечного сечения ракеты.

Эта тяга также может быть связана с массовым расходом выбрасываемого топлива, например

$$F = v_e \dot{m},$$

куда$v_e$равна эффективной скорости истечения ракетного двигателя и$\dot{m}$массовый расход ($\frac{dm}{dt}$).

Чтобы оптимизировать топливную экономичность, вам придется свести к минимуму количество топлива, необходимого для набора высоты, тем самым свести к минимуму

$$\frac{d m}{d y} = \frac{dm/dt}{dy/dt} = \frac{\dot{m}}{v} = \frac{mg + \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A}{v_e v}.$$

Это можно сделать, взяв производную от этого выражения по$v$и установить это равным нулю,

$$\frac{d}{dv} \frac{mg + \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A}{v_e v} = \frac{v_e \rho v^2 C_D A - v_e (mg + \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A)}{v_e^2 v^2}=0,$$

$$\rho v^2 C_D A - mg - \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A = \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A - mg = 0,$$

$$\frac{1}{2} \rho v^2 C_D A = mg.$$

Таким образом, наилучшая скорость действительно оказывается такой же, как и величина конечной скорости (сопротивление равно силе тяжести), но, конечно, в противоположном направлении.

Однако при всплытии только небольшой начальный участок траектории будет вертикальным. Как только ракета начнет наклоняться в сторону, конечная скорость, вероятно, уже не будет самой эффективной.