Все ли периодические волны имеют основную частоту?

Давайте сначала посмотрим на определение «основной частоты»: «Основная частота, которую часто называют просто основной, определяется как самая низкая частота периодического сигнала». Учитывая это определение, все периодические формы волны определенно имеют основную частоту$f$, что является в точности обратной величиной периода$T$периодической формы волны

$$f=\frac {1}{T} \tag 1$$ @ThePhoton правильно указал на это в своих комментариях выше. Причина в том, что любой периодический сигнал $$f(t)=f(t+T)\tag 2$$ с периодом $T$можно разложить в ряд Фурье с периодом $T$: $$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \exp( i\frac {2\pi nt}{T}) \tag3$$ где коэффициенты определяются выражением $$c_n=\frac {1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\exp(-i \frac {2\pi nt}{T}) \tag 4$$ и интеграл по любому периоду функции, начиная с $t_0$. Таким образом, форма волны основной частоты $f_1 (t)$произвольной периодической формы волны $f(t)$дается членом Фурье для $n=1$: $$f_1(t)=c_1 \exp( i\frac {2\pi t}{T}) \tag 5$$ с $c_1=c_1*$определяется уравнением (4). Одиночный импульс не имеет основной частоты в этом смысле. Однако его можно разложить на бесконечное число частотных составляющих, соответствующих преобразованию Фурье одиночного импульса.

Смотря что ты имеешь в виду.

Если вы чувствуете математику, вы можете увидеть периодические волны и подумать о периодической функции ,$f(x) = f(x + p)$, и основная частота и думать: «Если у него нет основного, это не периодическое». По математике дано$f(x) = f(x+p_1)$, и$g(x) = g(x+p_2)$,$h(x) = f(x) + g(x)$не является периодическим, если только$\frac{p_1}{p_2} \in$рациональность$^1$, несмотря на$h(x)$состоит из периодических функций. КЭД. Да.

Если вы пришли из музыки или электроники, вы могли бы увидеть «периодическую волну» как «сигнал» с периодическими свойствами — это имеет больше смысла, учитывая, что OP спрашивает об основных частотах, которые являются общей темой для музыкантов. Здесь основным является тон, который человеческое ухо идентифицирует как конкретную высоту сигнала (потому что он самый громкий [самый низкий] психоакустически).

Одномерное волновое уравнение с его знаменитым набором « обертонов » аппроксимирует струнные, духовые и духовые инструменты. Основная частота – это самая низкая частота в гармоническом ряду. Круглая перкуссия и квадратная перкуссия имеют разные, более сложные обертоны. По этой причине и из-за затухания описание этих сигналов по их основным характеристикам может быть менее полезным, но они имеют самую низкую частоту, которая обычно затухает медленнее, чем более высокочастотные компоненты. Не обязательно.

Между прочим, мы настраиваем большинство фортепиано на одинаковую темперацию , что означает, что соседние ноты имеют соотношение$\root{12}\of{2}$. Чтобы сгенерировать сигнал без основной частоты, просто сыграйте любые две ноты, которые не разделены целыми октавами. Тривиально, проверяемо нет.

Если у вас есть опыт работы с вейвлетами, солитонами или акустикой, вы можете включить периодические бегущие волны.$^2$. ОП, это то, что вы имеете в виду, когда говорите «пульс»? Здесь единственным требованием является то, чтобы частотные составляющие имели близкие скорости в среде. Вероятно, это не периодические функции , потому что вейвлет не должен повторяться. Импульс будет иметь «самую низкую частоту», но продолжительность импульса может быть слишком короткой, чтобы определить эту частоту — см. уши и NSST . Все еще нет.

Наконец, если мы говорим о звуке и будем педантичны, наши уши имеют волоски, которые вибрируют на разных частотах, поэтому вместо того, чтобы «никакой звук не был периодическим», каждый звук обязательно периодичен. Если бы вам удалось воспроизвести дельта-функцию Дирака , во-первых, вау и приятный взрыв, но ваше ухо услышало бы собственную АЧХ. Это и попадание в систему с помощью функции шага Хевисайда являются методами быстрого изучения частотной характеристики системы.

$^{^1\text{Irrationals are uncountable while rationals are merely infinite. Given 2 random frequencies, the signal's assuredly non-periodic.}}$

$^{^1\text{Travelling waves exist with open and closed boundary conditions.}}$