Всегда ли дискретные гексахорды строки тонов относятся к одному и тому же классу множества или связаны с z?

Ради будущих читателей я хотел бы синтезировать полный ответ на вопрос, чтобы он не был только скрыт в ссылке внутри комментария.

1.

Как предполагает ответ Роберта Финка, ответ TL; DR на вопрос - да, последний гексахорд любого ряда тонов будет либо таким же, как первый гексахорд, либо будет его z-партнером.

2.

Чуть более длинный ответ, предложенный другом, не являющимся SE, выглядит следующим образом: дополнение любого класса набора любого размера (то есть класс набора банкнот, остающийся из всех 12 возможных в традиционной западной системе после того, как вы удалены ноты исходного набора) всегда будут одинаковыми, независимо от конкретных нот. Например, ноты ре, ре#, фа#, соль# — часть всеинтервального тетрахорда (0146) — имеют дополнение до, до#, ми, фа, соль, ля, ля#, си, часть (01234689) . Совершенно другим членом (0146) будет G, A, C, C#; но его дополнение — D, D#, E, F, F#, G#, A#, B — по-прежнему принадлежит (01234689).

Очевидно, это справедливо и для гексахордов. Когда у вас есть первый гексахорд традиционной 12-тоновой последовательности, оставшийся гексахорд по определению является дополнением к первому. Все, что остается, чтобы доказать исходную гипотезу, — это тот факт, что дополнением любого гексахорда является либо он сам, либо его z-партнер, в чем можно убедиться, просмотрев любой список гексахордов, подобный тому, что в Приложении к « Введению Штрауса в посттональный анализ ». Теория .

3.

Несколько более формальное доказательство Стивена К. Блау было предоставлено Микой по ссылке, полный документ находится здесь: http://www.maa.org/sites/default/files/269122711809.pdf

Я дам краткий обзор. Если мы возьмем произвольный гексахорд, назовем его А, то он подразумевает дополнительный гексахорд (В), который отмечает его завершение в тоновом ряду. Мы можем представить эти два гексахорда на диаграмме циферблата следующим образом:

     _Б    ^А    _{А
  Б               Б
 А                 А
  Б               А
      Б        Б}
          ^А

Теперь представьте, что мы переключаем одну из нот A на одну из нот B, я сделаю переключение позиций 2 и 3 часа.

     _Б    ^А    _{А
  Б               А
 А}               ^⤹ _Б ^⤣
  _{Б               А
      Б        Б}
          ^А

Единственным интервальным изменениям в ля будут соответствовать идентичные интервальные изменения в си. Например, нота ля, которая раньше была в положении 3 часа, находилась на расстоянии 3 полутонов от ноты ля в положении 12 часов, а теперь только 2 прочь. Это изменяет составляющее интервальное содержание гексахорда A, но мы одновременно изменили гексахорд B в том смысле, что нота B, которая раньше была на 2 часах, также была на 3 полутона дальше от ноты B на 5 часах, а теперь составляет всего 2 прочь. Другими словами, одновременно с изменением одного из интервалов в A с IC3 на IC2 мы точно так же изменили один из интервалов в B. Статья по этой ссылке охватывает все возможности (хотя я думаю, что автор случайно поменял местами n +1 и n в одном месте)

Следовательно, интервальное содержимое двух гексахордов всегда будет одинаковым, несмотря ни на что, что является еще одним способом сказать, что дискретные гексахорды любой строки будут либо относиться к одному и тому же классу множества, либо связаны с z. КЭД

Да, это правда. В бизнесе мы называем ее Теоремой о гексахордальной комбинаторике. Это может быть доказано математически, но я не могу (без того, чтобы заново пережить некоторые травмирующие переживания после окончания школы) сделать это за вас здесь. :)