Вывод формулы дифракции Фраунгофера

Нарисуем схему попадания света в щель и дифрагирования под некоторым углом:

Световой луч на дне щели имеет отставание по фазе,$\phi$, по сравнению с лучом в верхней части щели, потому что он должен пройти дальше. Предположим, что угол оказался таким, при котором отставание по фазе равно$2\pi$.

Теперь давайте спросим, ​​каково отставание по фазе для луча света, идущего откуда-то из щели между верхним и нижним лучами:

Луч света исходит издалека$x$измеряется от вершины щели так$0\le x \le a$. Из диаграммы (надеюсь) очевидно, что отставание по фазе этого светового луча составляет:

$$\phi(x) = 2\pi\frac{x}{a} \tag{1}$$

Теперь рассмотрим два световых луча, один из которых исходит из положения$x$и один из$x+a/2$. Например, это могут быть два луча, которые вы описываете в вопросе, один из вершины щели ($x=0$) и один из середины ($x=a/2$), но мы будем придерживаться общего случая любого значения$x$.

Отставание луча по фазе от$x$дается уравнением (1) выше, а фазовое отставание луча от$x = a/2$дан кем-то:

$$\begin{align} \phi(x+a/2) &= 2\pi\frac{x+a/2}{a} \\ &= 2\pi\left(\frac{x}{a} + \frac{a/2}{a}\right) \\ &= 2\pi\left(\frac{x}{a} + \frac{1}{2}\right) \\ &= 2\pi\frac{x}{a} + \pi \\ &= \phi(x) + \pi \end{align}$$

Итак, мы обнаружили, что любые два луча, разделенные расстоянием$a/2$иметь разность фаз$\pi$. Это отвечает на ваш вопрос, почему луч от вершины щели и центра щели имеет разность фаз$\pi$, но это более общий результат.

Важность этого результата состоит в том, что две волны с разностью фаз$\pi$деструктивно интерферируют и нейтрализуют друг друга. Таким образом, для каждого луча в диапазоне$0 \le x \le a/2$, т. е. из верхней половины щели идет соответствующий луч на$x+a/2$, то есть из нижней половины щели, которая имеет разность фаз$\pi$и поэтому вмешивается деструктивно.

Это означает, что весь свет, излучаемый под углом, который я нарисовал, интерферирует деструктивно, а общая интенсивность равна нулю. Этот угол, т. е. угол, при котором отставание по фазе по всей щели равно$2\pi$, соответствует темному участку на дифракционной картине.