Зачем нужны антикоммутаторы при квантовании полей Дирака?

Самая элементарная причина заключается в том, что гамильтониан поля Дирака ограничен снизу только тогда, когда вы используете антикоммутационные соотношения для операторов рождения/уничтожения вместо коммутаторов. Свободная квантовая теория поля с неограниченной снизу энергией не имеет стабильного вакуума.

Проще всего продемонстрировать это в двух измерениях, где нет проблем с поляризацией.

Поучительный 2d пример

В двух измерениях (одно пространство, одно время) есть хороший размерно уменьшенный аналог, который является движущимся вправо (обязательно безмассовым) фермионом Майорана-Вейля (аргумент также работает с двумерными фермионами Дирака с двумя компонентами, но это самый простой кейс). Это однокомпонентное поле$\psi$которое подчиняется уравнению движения

$$(\partial_t -\partial_x) \psi = 0$$

Это простое уравнение получено из двумерного уравнения Дирака с использованием (реального соглашения, явно действительного) двумерных матриц Дирака (0,1;-1,0) и (0,1;1,0), которые равны$\gamma_0 = \sigma_x$а также$\gamma_1 = i\sigma_y$. Они возводятся в квадрат к 1 и -1 соответственно и антикоммутируют, поэтому они воспроизводят метрический тензор размерности 1 + 1. $\gamma_5$аналог, который я назову$\Gamma$для размещения различных размеров, является диагональным в этом явном представлении, и$\Gamma=\sigma_z$.

Два собственных вектора$\Gamma$распространяются независимо по двумерному безмассовому уравнению движения

$$\gamma_i \partial_i \psi = 0$$

И далее, поскольку$\gamma$матрицы действительны, это представление Майорана (большинство физиков пишут уравнение Дирака с коэффициентом i перед производной, так что матрицы Дирака для представления Майораны являются чисто мнимыми. Я использую для этого математическое соглашение, потому что Мне нравится, чтобы уравнения движения были реальными. Другим нравится, что пропагатор k-пространства не имеет множителей i в части k. К сожалению, физики никогда не останавливались на единственном разумном соглашении --- у каждого есть свой предпочтительный способ записи Дирака матрицы). Поэтому разумно в уравнении движения ограничиться$\psi$быть эрмитовым, поскольку его эрмитово сопряженное уравнение подчиняется точно такому же уравнению.

Так что поле имеет ак-разложение

$$\psi(x) = \int a_k e^{ikx - ikt }dk$$

И условие реальности (Отшельничество) говорит вам, что$a^{\dagger}(-k) = a(k)$(следует сказать, что нормализация$a$расширение операторов не является полностью концептуально тривиальным ---$a$нормированы как релятивистски, так и нерелятивистски, потому что спинорная поляризация$\sqrt{w}$фактор отменяет фактор гиперболы массовой оболочки, так что интегрирование dk ничем не взвешивается, это просто интеграл нормального исчисления с равномерной мерой)

Оператор с определенной частотой, который (рисунок Гейзенберга) эволюционирует во времени в соответствии с

$$\partial_t O = i\omega O$$

Обладает тем свойством, что это оператор повышения --- действие с этим оператором добавляет$\omega$к энергии. Если$\omega$отрицательно,$a$является оператором уничтожения. Условие устойчивости вакуума говорит о том, что все операторы уничтожения дают 0 при воздействии на состояние вакуума.

Но обратите внимание, что частота в расширении$\psi$меняет знак на$k=0$. Это произошло из-за линейности гамильтониана Дирака по импульсам. Это означает, что оператор$a_k$действует на повышение энергии для k>0, но действует на понижение энергии для$k<0$. Это означает, что$k>0$операторы создают, а$k<0$операторы аннигилируют, так что правильный путь к$a^{\dagger}(-k)$являются операторами создания, а$k<0$операторы являются операторами уничтожения.

Оператор энергии подсчитывает количество частиц с импульсом k и умножает на их энергию:

$$H = \int_{k>0} k a^{\dagger}(k) a(k) dk$$

И это явно не локальный оператор, он определяется только проинтегрированным по k>0. Чтобы сделать его локальным оператором, вам нужно распространить интегрирование на все k, но тогда отрицательное k и положительное k вкладов имеют противоположный знак, и они должны быть равны. Для этого нужно взять антикоммутационные соотношения

$$\{ a^{\dagger}(k),a(k)\} = i\delta(k-k')$$

А потом

$$H = {1\over 2} \int k a^{\dagger}(k) a(k) = \int \psi(x) i \partial_x \psi(x) dx$$

Обратите внимание, что это выглядит как совершенная производная, и это было бы, если бы$\psi$не были антикоммутирующим количеством. Для антикоммутирующих величин

$$\partial_x \psi^2 = \psi \partial_x \psi + \partial_x \psi \psi$$

Что равно нулю из-за антикоммутации.

Более глубокие причины

Хотя то, что энергия была отрицательной без антикоммутаторов, выглядит случайным, на самом деле это не так. Более глубокая причина объясняется евклидовой теорией поля с использованием формализма Фейнмана-Швингера, но для этого требуется понимание евклидовой версии антикоммутирующих полей и версий интеграла по путям, что требует понимания антикоммутирующих величин, что требует мотивации. Поэтому лучше сначала изучить поверхностную причину.

Предполагая, что вопрос в том, почему антикоммутаторы, а не коммутаторы, согласно комментарию Дэвида:

Если я обозначу свойства частиц Дирака общим индексом$\alpha$- они могут включать в себя спины, импульсы - тогда, если я создам состояние двух частиц, с частицей 1, имеющей$\alpha_1$и частица 2$\alpha_2$то состояние задается применением операторов создания в порядке

$$|\alpha_{1} \alpha_{2}\rangle = b_{\alpha_1}^{\dagger}b_{\alpha_2}^{\dagger}|0\rangle>$$ Если мы создадим их наоборот: $$|\alpha_{2} \alpha_{1}\rangle = b_{\alpha_2}^{\dagger}b_{\alpha_1}^{\dagger}|0\rangle>$$ тогда, если b подчиняются антикоммутационным соотношениям, легко видеть, что $$|\alpha_{2} \alpha_{1}\rangle = -|\alpha_1\alpha_2\rangle$$ т. е. теория естественным образом воспроизводит ферми-статистику, как вы хотели бы для дираковских частиц со спином 1/2.