Пространство Фока со смешанными антикоммутационными/коммутационными отношениями?

Допустим, у нас есть два режима со следующей маркировкой состояний номеров занятий:

$\lvert \Psi \rangle = \begin{pmatrix} 0,0 \\ 0,1 \\ 1,0 \\ 1,1 \end{pmatrix}$

Пример (как я предполагаю) фермионных операторов рождения для двух режимов:

$\hat a_1^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \hat a_2^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Эти операторы подчиняются полным антикоммутационным соотношениям.

$\{\hat a_1,\hat a_1^\dagger\} = \{\hat a_2,\hat a_2^\dagger\} = 1$

$a^\dagger_1 a^\dagger_1 = a^\dagger_2 a^\dagger_2 = 0$

$\{\hat a_1,\hat a_2^\dagger\} = \{\hat a_1,\hat a_2\} = 0$

Если мы не включим ($-$), то операторы, соответствующие одному и тому же режиму, по-прежнему антикоммутируют, а операторы, соответствующие разным режимам, коммутируют.

$\hat b_1^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \hat b_2^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\{\hat b_1,\hat b_1^\dagger\} = \{\hat b_2,\hat b_2^\dagger\} = 1$

$b^\dagger_1 b^\dagger_1 = b^\dagger_2 b^\dagger_2 = 0$

$[\hat b_1^\dagger,\hat b_2^\dagger] = [\hat b_1^\dagger,\hat b_2] = 0$

Похоже, мы начали строить бозонное фоковское пространство, но включили только состояния, для которых числа заполнения равны 0 или 1. Есть ли какая-то причина, по которой эти операторы не подходят, кроме наблюдения, что все элементарные частицы являются либо фермионами, либо бозонами? Существуют ли какие-либо квазичастицы в физике конденсированного состояния, которые ведут себя подобным образом?