Вывод приведенных функций Грина в томе 1 Полчинского

Во-первых, вы должны понять, как решить простое уравнение Пуассона на плоскости (конформно эквивалентной сфере). Решение кратно$\ln|z_1-z_2|$. Это двумерный аналог трехмерного факта, что Лаплас$1/r$является$-4\pi\delta^{(3)}(\vec r)$и может быть доказано с использованием того же доказательства закона Гаусса.

Уравнение Лапласа — без дельта-функции в правой части — имеет решения, определяющие неоднозначность предыдущего решения: некоторые голоморфные и антиголоморфные функции, которые даже не записаны. Теперь вы можете добавить$X_0^2$источник тоже с правой стороны. На самом деле необходимо, чтобы решение хорошо себя вело на бесконечности, чтобы решение на плоскости можно было интерпретировать как решение на$S^2$. Пожалуйста, убедитесь, что решение, которое он записал, решает уравнения. В общем случае, конечно, не существует «довольно простой» процедуры решения дифференциальных уравнений. С некоторым опытом можно поправиться, но неразумно предполагать, что все эти решения можно найти механически, следуя «универсальной процедуре решения дифференциальных уравнений». Нет ни одного.

Диск конформно эквивалентен полуплоскости. Реальная ось выбрана в качестве границы в представлении Джо. Соответствующее решение имеет дополнительную$\ln|z_1-\bar z_2|^2$потому что эффективно добавляются зеркальные заряды при$z_2\to \bar z_2$с другой стороны от границы, чтобы иметь правильные граничные условия на границе, чтобы это было решение для диска (полуплоскости), а не только для сферы (вся плоскость). Опять же, разумная позиция состоит в том, чтобы убедиться, что это решение, включая дельта-функции везде, где они должны быть, и оно имеет правильные граничные условия. Можно также попытаться доказать, что это наиболее общее решение. Но это все. Нет никакого способа конструктивно приблизиться к решению. Нужен некоторый опыт, знание того, какие функции являются решениями некоторых основных уравнений, и некоторый опыт в том, как похожие или более сложные версии этих уравнений могут быть связаны с более простыми заменами и многими другими шагами.

Аналогично для проективной плоскости. Однако теперь у нас есть отождествление$z_2\to -1/\bar z_2$поэтому аргумент логарифма может быть$z_1+1/\bar z_2$но если умножить на$\bar z_2$, который зависит только от одной переменной, вы получаете его аргумент$1+z_1\bar z_2$. Опять же, вы должны убедиться, что это решение с правильными граничными условиями.

Зависимость от$f$падает в (6.2.17) из-за того, что$f$отражает зависимость от$\omega$но теория конформно-инвариантна, поэтому зависимость от конформного фактора$\omega$там быть не может, тем более, что потенциальные источники конформной аномалии на вершинных операторах и, возможно, на бесконечности убраны. Это более концептуальное объяснение. Под уравнением (6.2.17) действительно есть объяснение – ответ на ваш вопрос. Однако вы должны проверить этот «эвристический, интуитивный, общий» аргумент прямым вычислением. Это возможно, потому что это интеграл Гаусса, и все такие интегралы могут быть вычислены аналитически, особенно если у вас есть рецепт для функций Грина. Вычисление может занять целую страницу, и, поскольку вы, по-видимому, даже не пытались начать вычислять его, кажется педагогически контрпродуктивным писать все это целиком, потому что такой ответ почти наверняка откроет 100 новых вопросов.

Можно было бы быть более подробным, но в конце можно было бы также написать увеличенную в 5 раз копию огромной двухтомной книги Джо, дополненную дополнительными введениями в сложный анализ, исчисление, уравнения, интегрирование, подстановки и, возможно, многое другое. элементарные вещи, которые вы не указали. Я не буду этого делать, потому что он пишет учебник уже 10 лет, а 10 лет, умноженное на 5, равно 50 годам, и я не думаю, что это разумная трата времени, учитывая тот факт, что ваши вопросы вообще не кажутся локализованными.

Недавно я только что узнал, что это связано с так называемой формой Адамара функции Грина, с которой я не знаком. Это примерно о структуре сингулярности двухточечной функции. В двух измерениях функция Грина представляет собой примерно сумму логарифмически расходящегося члена и обычного члена. В более высоких измерениях функция Грина представляет собой примерно сумму полюса, логарифмической дивергенции и регулярного члена.

Чтобы быть конкретным, логарифмическая дивергенция$\log(d(x,y))$, где$d(x,y)$расстояние (геодезическая длина) между двумя точками$x$и$y$. Когда две точки очень близки, функция Грина имеет логарифмическое расхождение. В более высоких измерениях также должен быть полюс$1/(d(x-y))^{D}$, что происходит от точечного распределения заряда.

Вам могут понадобиться следующие бумаги:

1. http://DOI:2010.1007/BF01196934
2. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00338657/документ

Надеюсь, они будут полезны для вас.

Вопрос связан со следующим

Простые физические объяснения поведения Адамара двухточечных функций