Корреляционные функции в теории теплового поля и др.

У меня нет полного ответа, но вот кое-что, чтобы дать вам общее представление. Рассмотрим гауссово скалярное поле с одноточечным гамильтонианом$\Omega$, т.е. гамильтониан этого поля имеет вид

$$H = : {1 \over 2} \int {\rm d}^d {\mathbf x} \left( \pi(\mathbf x)^2 + \phi(\mathbf x) \Omega^2\phi(\mathbf x)\right): = \int {\tilde {\rm d} \mathbf p} E(\mathbf p) a^{\dagger}(\mathbf p)a(\mathbf p)$$ где мы представили $\tilde {\rm d} \mathbf p = {{\rm d} \mathbf p \over (2\pi)^d 2E(\mathbf p)} .$

Евклидова двухточечная корреляционная функция этого поля имеет вид

$$\left<{\mathbf x} \right| G_E(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> = \int {{\rm d}^{d+1} p \over {2 \pi}^{d+1}} {e^{i p_0(t-t') + {\mathbf p} \cdot ({\mathbf x -\mathbf x'})} \over p_0^2 + E(\mathbf p)^2}$$

а для тепловой функции Грина имеем

$$\left<{\mathbf x} \right| G_{\beta}(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> = {1 \over \beta} \sum_{\omega_n = {2 \pi n / \beta}} \int {{\rm d}^{d} p \over {2 \pi}^{d}} {e^{i \omega_n(t-t') + {\mathbf p} \cdot ({\mathbf x -\mathbf x'})} \over \omega_n^2 + E(\mathbf p)^2}.$$

Это можно суммировать и разделить на вклады от основного состояния и от возбужденных состояний.

$$\left<{\mathbf x} \right| G_{\beta}(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> = \left<{\mathbf x} \right| G_E(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> + \int {{\rm d}^{d} p \over {2 \pi}^{d}} {1 \over E(\mathbf p)} {\cosh E(\mathbf p) (t - t') \over e^{\beta E(\mathbf p)} - 1}.$$

Два общих наблюдения, которые можно увидеть из этого:

1. тепловая функция Грина имеет полюс в$\beta E = 2 \pi n$. Это происходит из-за того, что мы компактизировали время (и, следовательно, температуру) до круга.
2. в пределе$\beta \to \infty$вклад от возбужденных состояний исчезает, и остается вакуумная функция Грина.

Сейчас это немного устарело, но попробуйте Hiroomi Umezawa, "Advanced Field Theory; Micro, Macro, and Thermal Physics", AIP, 1993.

В обозначениях, немного отличающихся от используемых Мареком, двухточечная функция меняется с

$$\left<0\right|\phi(x)\phi(x+y)\left|0\right>=\hbar\int 2\pi\delta(k^2-m^2)\theta(k_0)\mathrm{e}^{-ik\cdot y}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ случай свободного вакуумного состояния Клейна-Гордона в соответствующий случай теплового состояния, $$\omega_\mathsf{T}\Bigl[\phi(x)\phi(x+y)\Bigr]=\hbar\int 2\pi\delta(k^2-m^2)\theta(k_0)\coth\left[ \!\frac{\hbar k_0}{2\mathsf{k_BT}}\!\right]\mathrm{e}^{-ik\cdot y}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}.$$ На основе этого представления случай теплового свободного поля есть не более чем другая мера на конусе прямого света, которая неизбежно не является лоренц-инвариантной (т.е. $k_0$в $\coth$фактор выбирает предпочтительный фрейм). Деформация не менее плавная, чем вакуумная двухточечная функция. Кроме того, хотя приведенные выше уравнения этого не показывают, состояние теплового поля по-прежнему является гауссовским, как и состояние вакуума, поэтому вся структура теплового состояния над свободным полем Клейна-Гордона полностью определяется двухточечной функцией.

Можно также построить деформации более высокого порядка меры массы-оболочки, добавив дополнительные множители$\coth\left[ \!\frac{\hbar k'_0}{2\mathsf{k_BT'}}\!\right]$, или иначе, вполне возможно, соответствующие разным времениподобным направлениям и температурам.

Представление поля Клейна-Гордона, достаточное для реконструкции вышеизложенного, можно найти в моем «Кратком представлении квантованного поля Клейна-Гордона и аналогичном квантовом представлении классического случайного поля Клейна-Гордона», quant-ph /0411156, Физ. лат. A 338, 8-12 (2005), хотя в основном я точу в этой статье совсем другое.