Неверный результат для стоячей волны на веревке со свободными концами [закрыто]

Итак, чтобы быть немного более кратким, у вас почти правильное уравнение, но помните, что$f,g$являются функциями только одной переменной, и поэтому их частные производные совершенно бессмысленны. Но у нас это есть

$$\left({\partial\psi\over\partial x}\right)_{t~\text{const},~x=0} = 0 ~~~\Leftrightarrow~~~f'(-\omega t) + g'(\omega t) = 0$$ Вы правы в замене $\omega t$только с общим аргументом $u$, и найти это $$g'(u) = - f'(-u).$$ Однако ваше утверждение, что это имеет решение $g(u) = - f(-u)$не правильно . Это связано с цепным правилом , которое гласит, что производная от $p(x) = q(r(x))$не является $p'(x) = q'(r(x))$но вместо этого $$p'(x) = q'(r(x))\cdot r'(x).$$ Это означает, что фактическое решение должно быть $g(u) = f(-u)$так что цепное правило, приходящее в этой форме $r(x) = -x, ~~r'(x) = -1$вводит знак минус, который мы видим выше.

Так в чем была твоя ошибка?

Ваша ошибка в выборе$g(x,t) = -\cos (x+vt)$который дает$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} \ne 0$в$x=0$

Выбор$g$был ошибочным, потому что вы не применили условие$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} = 0$правильно.

Итак, вы хотели$\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin(x-vt) = -\frac{\partial g}{\partial x}$в$x=0$.

который дает$\frac{\partial g}{\partial x} = - \sin (vt)$и функция$x+vt$который удовлетворяет этому$g(x,t) = +\cos (x+vt)$

---

Графики ниже являются снимками в момент времени$t$.

Функция$f$является правобегущей волной и показана красным цветом на графике.

Функция$\frac {\partial f}{\partial x}$- градиент функции косинуса$f$и является синусоидальной функцией, и со временем она также перемещается вправо, следуя функции$f$(показаны сиреневым цветом на графике).

Одно из условий, которые вы ставите, состоит в том, что при$x=0$вы должны иметь на все времена$\frac{\partial \psi}{\partial x}=0$

Это значит, что$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial x}=0$Итак$\frac{\partial g}{\partial x}$график должен быть «противоположным»$\frac{\partial f}{\partial x}$график и, следовательно, должен быть синусоидальным графиком, движущимся влево, как показано синим цветом.

Потому что вы хотите, чтобы это условие$\frac{\partial \psi}{\partial x}=0$держать на все времена волну$g$должны быть оставлены в пути.

Это означает, что$g(x,t) = +\cos(x+vt)$.

Если вы представите в своем воображении чуть позже$f$и$\frac {\partial f}{\partial x}$графики смещаются немного вправо с$g$и$\frac {\partial g}{\partial x}$графики, перемещающиеся немного влево, тогда вы можете изобразить точки пересечения на оси Y графиков градиента, которые перемещаются дальше от начала координат на одинаковую величину, при этом их сумма по-прежнему равна нулю.