Вывод скорости распространения изменения электромагнитного поля из уравнений Максвелла

Хотя это стандартный вывод, вы часто не видите его во вводных курсах по электромагнетизму, возможно, потому, что эти курсы уклоняются от интенсивного использования векторного исчисления. Вот обычный подход. Найдем волновое уравнение из уравнений Максвелла.

Начните с

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$.

Возьмем частную производную от обеих частей по времени. Оператор curl не имеет парциала по времени, так что это становится

$\nabla \times \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = -\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}$.

Есть еще одно уравнение Максвелла, которое говорит нам о$\partial\vec{E}/\partial t$.

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Решите это для$\partial\vec{E}/\partial t$и подключите к предыдущему выражению, чтобы получить

$\nabla \times \frac{(\nabla \times \vec{B})}{\mu_0\epsilon_0} = -\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

завиток идентичности завитка позволяет нам переписать это как

$\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}\left(\nabla(\nabla \cdot \vec{B}) - \nabla^2\vec{B}\right) = -\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

Но дивергенция магнитного поля равна нулю, так что уберите этот член и переставьте в

$\frac{-1}{\mu_0 \epsilon_0}\nabla^2\vec{B} + \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$

Это волновое уравнение, которое мы ищем. Одно решение

$\vec{B} = B_0 e^{i (\vec{x}\cdot\vec{k} - \omega t) }$.

Это представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении вектора$\vec{k}$с частотой$\omega$и фазовая скорость$v = \omega/|\vec{k}|$. Чтобы быть решением, это уравнение должно иметь

$\frac{\omega^2}{k^2} = \frac{1}{\mu_0\epsilon_0}$.

Или, установив$v = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$

$\frac{\omega}{k} = v$

Это называется дисперсионным соотношением . Скорость, с которой распространяются электромагнитные сигналы, определяется групповой скоростью

$\frac{d\omega}{d k} = v$

Итак, электромагнитные сигналы в вакууме распространяются со скоростью$c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$.

Изменить . Вы можете выполнить те же шаги, чтобы вывести волновое уравнение для$\vec{E}$, но вам придется предположить, что вы находитесь в свободном пространстве, т.е.$\rho = 0$.

Изменить . Завиток идентичности завитка был неправильным, там есть отрицательное число.

Ответ Марка правильный, но он слишком длинный и скрывает изюминку. Итак, позвольте мне показать более короткий вывод с использованием более сложной математики. Однако не слишком продвинутый, просто тензорный формализм в пространстве-времени Минковского для специальной теории относительности и дифференциальных форм . Все это вам понадобится рано или поздно, так что будет полезно узнать (хотя бы немного) об этом уже. Этот ответ будет состоять всего из нескольких строк, если вы уже знакомы с формализмом, но он будет немного длиннее, потому что я постараюсь научить вас и формализму.

---

Вы, наверное, знаете, что преобразования Лоренца смешиваются$\mathbf E$а также$\mathbf B$. Таким образом, они на самом деле не независимы, и оказывается, что они являются просто частью антисимметричного 4-мерного тензора ранга 2 (это действительно означает$4 \times 4$антисимметричная матрица)$\mathbf F$. Теперь должно быть хотя бы размерно ясно, что такая матрица имеет 6 независимых компонент, что в точности совпадает с 3+3 степенями свободы.$\mathbf E$а также$\mathbf B$.

Вы, вероятно, также должны знать, что оба$\mathbf E$а также$\mathbf B$можно выразить через потенциалы. В нашем формализме это переводится в${\mathbf F} = {\rm d} {\mathbf A}$куда${\rm d}$является внешней производной $\mathbf A$представляет собой четырехпотенциал, который объединяет скалярный$\phi$и трехвекторный$\mathbf A$потенциалы, которые вы уже должны знать и любить.

Теперь оказывается, что уравнения Максвелла в вакууме имеют очень простой вид в этом формализме.

$${\rm d}{\mathbf F} = 0$$ $${\rm \delta}{\mathbf F} = 0$$ с $\delta$кодифференциал , двойственный $\rm d$. Первое уравнение на самом деле говорит нам, что четырехпотенциал существует (потому что ${\rm d}^2 = 0)$а второе — собственно эволюционное уравнение, которое будет содержать четырехтоковый $\mathbf j$если бы мы не были в вакууме. Теперь всякий раз, когда у нас есть решение этих уравнений, они также будут решать $$\square {\mathbf F} = ({\rm d\delta + \delta d}) {\mathbf F} = 0$$ Но это $\square$является именно волновым оператором Даламбера, и поэтому действительно $\mathbf F$распространяется со скоростью света.

---

Ссылка: статья в Википедии о ковариантном или четырехвекторном формализме .

Начните с завитка третьего уравнения Максвелла (для вакуума) и подставьте$\vec{B}=\mu_0\vec{H}$можно получить,

$$\nabla^2.\vec{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{E}$$

Точно так же, взяв curl из четвертого уравнения Максвелла, заменив

$$\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\mu_0\vec{H}$$

можно получить

$$\nabla^2.\vec{H} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{H}$$

Решение двух уравнений имеет вид

$$E = E_o e^{\iota(\omega t + \beta z)}\ \ \ \ ;\ \ \ \ H = H_oe^{\iota(\omega t+\beta z)}$$

Взяв двойную производную по времени от этих результатов, мы получим

$$\frac{\partial}{\partial t} = \iota\omega\ \ \ \ ;\ \ \ \ \frac{\partial^2}{\partial t^2}=-\omega^2$$

Если мы вставим эти результаты в наш$\nabla^2$уравнений, мы получим уравнение Гельмгольца для$\vec{E}$а также$\vec{H}$в качестве

$$(\nabla^2 + \omega^2 \mu_0 \epsilon_0)\vec{E} = 0 = (\nabla^2 + \omega^2 \mu_0 \epsilon_0)\vec{H}$$

Здесь выражение$\omega^2 \mu_0 \epsilon_0 = \beta^2$что является волновым числом. Решив это выражение, мы можем получить вышеупомянутое уравнение.

$$\frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$$

Также,$\omega = 2\pi f$а также$\beta = 2\pi/\lambda$что приводит нас к искомому уравнению,

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_o \epsilon_0}}$$

С,$mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ч/м и$\epsilon_0 \approx 8.85\times10^{-12}$Ф/м это уравнение дает$c = 299 792 458$РС