Вывод скорости света с использованием интегральных форм уравнений Максвелла

Ручной способ сделать это состоит в том, чтобы рассмотреть волновое решение, подобное приведенному ниже, и применить закон Фарадея к петле 1 и закон Ампера к петле 2:

Если сделать петли достаточно узкими, т. е. их ширина$dx$, затем

Дифференциальная и интегральная формы уравнений Максвелла действительно эквивалентны; по сути, это один и тот же набор уравнений.

Можно преобразовать между ними, используя две математические теоремы:

Теорема о дивергенции ( Википеда — Теорема о дивергенции ) Теорема Стокса ( Википедия — Теорема Стокса )

Теорема о дивергенции утверждает, что поток по замкнутой поверхности векторного поля равен интегрированию дивергенции этого векторного поля по объему, ограниченному поверхностью. Теорема Стокса утверждает, что линейный интеграл векторного поля по замкнутому пути равен интегрированию ротора этого векторного поля по любой поверхности, ограниченной замкнутым путем.

Теперь то, что вы пытаетесь показать, — это волновое уравнение, которое, как вы заявили, является дифференциальной формой; который выглядит следующим образом:

$\nabla^{2} \vec{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}$

Теперь, чтобы добраться туда из интегральной формы, вы делаете следующее: возьмем, например, третье уравнение, которое утверждает:

$\oint \limits_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint\limits_S \vec{B}\cdot \vec{dS}$

Теперь теорема Стокса утверждает, что:

$\oint \limits_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = \iint\limits_S \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot \vec{dS}$

Включите его, и вы получите:

$\iint\limits_S \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot \vec{dS} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint\limits_S \vec{B}\cdot \vec{dS}$

Измените порядок производной по времени и интеграла (да, вы можете это сделать) и соберите под одним знаком интеграла:

$\iint\limits_S (\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} )\cdot \vec{dS}$

Теперь, поскольку это должно выполняться для любой поверхности S, само подынтегральное выражение должно быть равно нулю. Итак, мы получаем:

$\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0$

Теперь мы на пути к получению волнового уравнения, но в качестве первого шага мы просто преобразовали интегральную форму уравнения в дифференциальную! Чтобы продолжить, вам нужно будет сделать то же самое с первыми двумя уравнениями, а затем применить$(\vec{\nabla}\times)$оператор к уравнению, которое мы только что получили выше... Используйте векторное тождество и доберитесь туда...

Вы можете сказать, что на самом деле это не использование интегральных форм для получения волнового уравнения! Ну, мы начинаем с интегральных форм уравнений, но какой у нас есть выбор, если мы все равно пытаемся прийти к дифференциальному уравнению второго порядка??

(Приведенная выше процедура даст вам волновое уравнение для$\vec{E}$. Чтобы получить тот, за$\vec{B}$, вам нужно будет начать с уравнения четыре...)

Я думаю, что то, что я делаю, похоже на то, что опубликовал lionelbrits. Я рассчитываю напряжение вокруг прямоугольной рамочной антенны двумя способами: во-первых, как скорость изменения магнитного потока от пика проходящей через него магнитной волны; и, во-вторых, как максимальная разность напряжений на двух вертикальных участках, рассчитанная путем интегрирования e-вектора.

Если вы предполагаете, что E-вектор и H-вектор синусоидальны, и что отношение между ними составляет 377 Ом, то единственный способ, которым эти два вычисления антенны дают один и тот же ответ, - это если скорость света равна 3 x 10 ^ 8 .