Вывод температуры черной дыры Рейснера-Нордстрема (заряженной)

Question

Вывод температуры черной дыры Рейснера-Нордстрема (заряженной)

сила тяжести
Физика
черные дыры
термодинамика
излучение Хокинга
Рейснер-Нордстрем-метрик

пользователь 280325

Много текста для этого взято из «Как правильно интерпретировать поведение теплоемкости заряженной черной дыры?» но это касается другого вопроса. Решение черной дыры Рейснера-Нордстрема:

д с^{2} "=" - (1 - \frac{2 М}{р} + \frac{{Вопрос}^{2}}{р^{2}}) д т^{2} + (1 - \frac{2 М}{р} + \frac{{Вопрос}^{2}}{р^{2}})^{- 1} д р^{2} + р^{2} д {Ом}_{2}^{2}

$ds^2=-(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})dt^2+(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})^{-1}dr^2 +r^2d\Omega_{2}^2$

Давайте определим $f(r)\equiv (1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2})$ . Ясно, что решения для $f(r)=0$ являются $r_{\pm}=M\pm \sqrt{M^2-Q^2}$ , и они представляют собой два горизонта заряженной черной дыры. Если мы рассматриваем точку вблизи $r_+$ , мы можем переписать $f(r)$ следующее:

ф (р_{+}) \sim \frac{(р_{+} - р_{-}) (р - р_{+})}{р_{+}^{2}}

$f(r_+)\sim \frac{(r_+ -r_-)(r-r_+)}{r_{+}^2}$

Чего я не понимаю, так это того, как можно вывести температуру черной дыры из этого соотношения. Температура определяется

Т "=" \frac{р_{+} - р_{-}}{4 π р_{+}^{2}} "=" \frac{1}{2 π} \frac{\sqrt{М^{2} - {Вопрос}^{2}}}{(М + \sqrt{М^{2} - {Вопрос}^{2}})^{2}}

$T=\frac{r_+-r_-}{4\pi r_+^2}=\frac{1}{2\pi }\frac{\sqrt{M^2-Q^2}}{(M+\sqrt{M^2-Q^2})^2}$

Я не мог найти разумного ответа, как мы можем получить температуру от $f(r_+)$ . Каких шагов и рассуждений не хватает при совершении этого прыжка?

Ответы (2)

Вывод температуры черной дыры Рейснера-Нордстрема (заряженной)

Прахар · Answer 1

Температура черной дыры связана с гравитацией на ее поверхности. Для стационарных черных дыр гравитация на поверхности определяется выражением

κ^{2} "=" - \frac{1}{2} Д^{а} ξ^{б} Д_{а} ξ_{б} |_{р "=" р_{+}}

$\kappa^2 = - \frac{1}{2} D^a \xi^b D_a \xi_b \big|_{r=r_+}$ где

ξ = \partial_{t}

$\xi = \partial_t$ времяподобный вектор Киллинга пространства-времени и

r = r_{+}

$r=r_+$ это горизонт. Для пространств-времен, имеющих метрику вида

д с^{2} "=" - ф (р) д т^{2} + \frac{д р^{2}}{ф (р)} + р^{2} д {Ом}^{2}

$ds^2 = - f(r) dt^2 + \frac{dr^2}{f(r)} + r^2 d\Omega^2$ Это количество получается

κ "=" \frac{1}{2} ф^{'} (р_{+})

$\kappa = \frac{1}{2} f'(r_+)$ Тогда температура черной дыры определяется выражением

Т "=" \frac{κ}{2 π} "=" \frac{1}{4 π} ф^{'} (р_{+})

$T = \frac{\kappa}{2\pi} = \frac{1}{4\pi} f'(r_+)$ Для черной дыры RN

ф (р) "=" \frac{1}{р^{2}} (р - р_{+}) (р - р_{-}) ⟹ ф^{'} (р_{+}) "=" \frac{р_{+} - р_{-}}{р_{+}^{2}}

$f(r) = \frac{1}{r^2} ( r - r_+ )( r - r_- ) \implies f'(r_+) = \frac{r_+-r_-}{r_+^2}$ который воспроизводит вашу формулу.

Бы $T = \frac{1}{4\pi} f'(r_+)$ верны для черной дыры Шварцшильда в $AdS_{5}$ где $f(r)=-g_{00}=1-\frac{2m}{r^2}+\frac{r^2}{b^2}$ ?
@ user280325 Да. Я думаю, что это все еще правда, что $T \propto f'(r_+)$ хотя общая константа может зависеть от размерности пространства-времени.
@ user280325 - На самом деле, я только что проверил это, и у нас все еще есть $T = \frac{1}{4\pi} f'(r_+)$ .
я пытаюсь рассчитать $\kappa$ но что такое $\xi$ ? Это просто $(1, 0,0,0)$ ?

Джон Ренни · Answer 2

Уравнение выводится из соотношения между температурой черной дыры и поверхностной гравитацией:

Т "=" \frac{κ}{2 π}

$T = \frac{\kappa}{2\pi}$

где $\kappa$ есть поверхностная гравитация . См. Статью Википедии об излучении Хокинга, чтобы узнать больше об этом, и, в частности, в разделе, озаглавленном Процесс излучения .

Для черной дыры RN это выражение дает:

Т "=" {\frac{1}{2 π} \frac{1}{\sqrt{г_{р р}}} \frac{д \sqrt{- г_{т т}}}{д т} |}_{р "=" р_{+}}

$T = \left. \frac{1}{2\pi} \frac{1}{\sqrt{g_{rr}}} \frac{d\sqrt{-g_{tt}}}{dt} \right|_{r=r_+}$

Преобразование этого в выражение, которое вы цитируете, - это просто алгебра.

Вывод температуры черной дыры Рейснера-Нордстрема (заряженной)

пользователь 280325

Ответы (2)

Прахар

пользователь 280325

Прахар

Прахар

Y2H

Джон Ренни

Почему экстремальные черные дыры не излучают?

Основываясь на термодинамике черной дыры, разве пустое пространство не должно содержать бесконечную энергию?

Термодинамически перевернутые черные дыры, межсетевые экраны, эффект Казимира, нарушение условий нулевой энергии

Может ли звездная черная дыра превратиться в нейтронную звезду или что-то в этом роде?

Является ли излучение Хокинга заряженной черной дыры тепловым?

Испаряющиеся черные дыры и энтропия

Разве Эйнштейн не разрешил парадокс Хокинга?

Как увеличивается излучение Хокинга по мере испарения черной дыры?

Как излучение Хокинга выходит из тени?

Устойчивость вакуума Хокинга-Хартла в квазиклассической гравитации