Вывод закона Фарадея с помощью силы Лоренца?

Со стационарной петлей из проволоки и поля$\vec B$изменяясь во времени, кажется, что вы не сможете использовать силу Лоренца, потому что трудно ввести скорость$v$. Но другая конфигурация может оказаться более полезной, см. рисунок.

Металлический стержень (оранжевый) пересекает магнитные линии (голубые) с постоянной скоростью.$v$(синий) в указанном направлении. Это действительно перемещает электроны в стержне, как ваша формула$(1)$говорит. Стержень скользит по двум металлическим направляющим (светло-серые), которые соединены другим стержнем (светло-серые), образуя замкнутую цепь.

Хотя поле$B$постоянный, магнитный поток$\Phi$изменяется во времени, потому что

В нашем случае это поверхность$S$прямоугольный, поэтому мы можем записать поток как$\Phi_B = B S = B L D$, где$D$- длина стержня, а$L$длина металлических дорожек, по которым скользит стержень.

Для электродвижущей силы нас интересует производная потока по времени

потому что$\text dL/dt = -v$.

Теперь я считаю, что моя формула$\text {(ii)}$и ваш$(2)$начинают походить друг на друга. Чего не хватает в моем$\text {(ii)}$это обвинения$q$, и что должно появиться в вашем$(2)$длина стержня$D$, что, вероятно, связано с элементом расстояния$\text d \vec {\ell}$. Кроме того, поскольку в нашем случае сила$\vec F$в вашей$(1)$вдоль стержня, а скорость стержня$\vec v$перпендикулярно$B$, три вектора$\vec F$,$\vec v$и$\text d \vec {\ell}$взаимно перпендикулярны, так как в моем$\text {(ii)}$, векторное произведение не появляется, это не проблема.

На этом я оставляю этот вопрос вам . Я предлагаю вам подумать, какая связь между работой$W$и разность потенциалов$\mathcal E$, и какая связь между интеграцией по циклу в вашем$(2)$и количество$D$в моем$\text {(ii)}$. Подсказка: в серых полосах электродвижущая сила не создается.

Для тонкой проволоки с зарядами, остающимися внутри проволоки, мгновенное изменение магнитного потока равно линейному интегралу силы Лоренца вокруг мгновенной цепи (что на самом деле отличается от работы, совершаемой при движении частицы по проводу через провод). время). Однако магнитная часть силы Лоренца полностью обусловлена ​​движением цепи через мгновенную$\vec{B}$поле, а электрическая часть силы Лоренца на 100% связана с мгновенным потоком$\partial \vec{B} /\partial t$через область, мгновенно охватываемую цепью.

Таким образом, если ваша схема стационарна, ваш интеграл от$q\vec{vV}\times\vec{B}$даст вам ноль, поскольку скорость либо (термически) случайна (поэтому усредняется по многим зарядам), либо вдоль направления провода (почему мы рассматриваем тонкий провод), поэтому этот вектор,$q\vec{v}\times\vec{B}$, ортогональна проводу.

Избежать циркулярности сложно, так как на самом деле это циркуляция.$\vec{E}$что вызывает изменение в$\vec{B}$. И есть циркулирующий$\vec{E}$даже внутри областей, охватываемых цепью (вдали от проводов). если вам нужен совершенно строгий вывод, вы можете рассмотреть источник$\vec{B}$поле, так что вы можете увидеть, что вызывает$\vec{B}$изменить. Например, оберните соленоид вокруг цепи. Чтобы получить ток через ваш соленоид, вам нужно применить циркулирующее электрическое поле. И тогда причинно-следственная связь ясна.

Но тогда это становится проблемой взаимной индукции.