Вывод закона Ома

Question

Вывод закона Ома

хвлин

Можно ли вывести закон Ома (возможно, в каком-то подходящем пределе) из уравнений Максвелла?

Qмеханик

Простую теорию, лежащую в основе закона Ома, см., например, в модели Друде в Википедии или в этом посте Phys.SE.

Ответы (5)

Вывод закона Ома

Простую теорию, лежащую в основе закона Ома, см., например, в модели Друде в Википедии или в этом посте Phys.SE.

Томас · Answer 1

Закон Ома $\vec\jmath=\sigma\vec{E}$ может быть строго выведен в пределе малых электрических полей с использованием теории линейного отклика. Это приводит к формуле Кубо для электропроводности, которая связывает $\sigma$ к пределу нулевой частоты корреляционной функции ток-ток с запаздыванием.

о^{α β} (д) знак равно \underset{ю \to 0}{лим} \frac{1}{- я ю} {\frac{н е^{2}}{м} {дельта}^{α β} - я ⟨ [{Дж}^{α} (ю, д), {Дж}^{β} (- ю, - д)] ⟩}

$\sigma^{\alpha\beta}(q)=\lim_{\omega\to0}\frac{1}{-i\omega}\left\{\frac{ne^2}{m}\delta^{\alpha\beta} - i\langle[j^\alpha(\omega,q),j^\beta(-\omega,-q)]\rangle \right\}$

(Конечно, этот вывод включает в себя нечто большее, чем просто уравнение Максвелла. Оно правильно выводится в контексте неравновесной теории поля.) Модель Друде представляет собой модель спектральной функции корреляционной функции ток-ток в терминах одиночное ``время столкновения''. Эта модель может быть получена в рамках кинетической теории, которая применима, когда взаимодействия слабые, а корреляционная функция может быть вычислена в терминах квазичастиц.

Но нужно иметь в виду, что эта теория линейного отклика предполагает линейность, которая является основной характеристикой закона Ома. Таким образом, подход Кубо является неполным выводом.
@JasonArthurTaylor Очевидно, что в большом поле ответ нелинейный. Здесь мы говорим о небольших полях. Если бы в этом режиме линейный отклик нарушился, вы бы увидели это по ИК-расхождениям в функциях корреляции ток-ток. Я не знаю ни одной «реальной» системы, в которой это происходит в термодинамическом пределе. (Обычными исключениями для линейного отклика являются странные системы, такие как закон Навье-Стокса в конкрахмале или закон Ома в баллистических каналах.)
Да, но что такое "большой"? Я не думаю, что Кубо предпринял какие-либо попытки оценить, каков будет срок/вклад следующего заказа на высоких полях. Если это так, то режим линейности, ключевой элемент закона Ома, там не обеспечен. (Это означает, что он линейный, но не знаю где.) Между прочим, я могу подумать, например, о куче песка, которую может быть трудно смоделировать, используя этот подход. Кроме того, если вы будете так любезны и у вас будет минутка, не могли бы вы быстро просмотреть страницу 2 ссылки, которую я процитировал в своем ответе, и прокомментировать ее? Как вы думаете, гамильтониан был неправильно смоделирован?

Джейсон Артур Тейлор · Answer 2

Нет, не так, как вы, вероятно, думаете. Вы можете многое сделать с уравнениями Максвелла, но вам придется выйти за их пределы, чтобы вывести закон Ома. Существует тривиальное отношение, идущее от точек к макроскопическим объектам (например, умножение на длины и площади поперечного сечения), но это просто дает разные формы того, что до сих пор называют законом Ома.

Как я указал в комментарии к принятому в настоящее время ответу Томаса, я думаю, что решение Кубо неявно предполагает ( т . Е. Не выводится с нуля) линейную связь между током и полем. Это уже выходит за рамки законов Максвелла.

Полный ответ требует выхода даже за рамки этого. См., например , Riess (2004) . Вот почему я говорю, что нет - правильный ответ на ваш фактический вопрос.

Важно отметить, что я не думаю, что оригинальная статья Кубо по этому поводу пытается вычислить какие-либо фактические значения $\sigma.$ Таким образом, Кубо не вывел ни один из аспектов закона Ома. Скорее формализм Кубо позволяет вычислить $\sigma$ при условии, что должна существовать линейная зависимость.

По этим причинам я бы возражал против использования Томасом фразы «выведено строго» при описании вклада Кубо в том виде, в каком он описан. Это также частично, почему я думаю, что мой собственный ответ стоит представить. (Меня несколько беспокоит использование этой фразы в этом контексте, особенно если я также говорю, что проблемная модель Друде также дает ее, как будто это тривиальное уравнение для вывода или что-то в этом роде.)

тпг2114 · Answer 3

тпг2114

Нет, это приближение, а не выведенное из первых принципов. Он основан на эмпирических наблюдениях.

Николай-К

Вы говорите о законе Ома уравнений Максвелла? :D

Джейсон Артур Тейлор

Вы говорите «является... не производным» в настоящем времени. Но, ИМО, это можно вычислить. Вот документ, в котором проводимость или удельное сопротивление были численно рассчитаны для алюминия: arxiv.org/abs/1310.4013 .

hft · Answer 4

Я добавил этот ответ, потому что некоторые комментарии к этому и другим подобным вопросам (помеченные как дубликаты) требуют дополнительных подробностей квантово-механического вывода закона Ома.

Приведенный здесь вывод подходит для одночастичной квантовой механики и пытается вывести закон Ома в форме:

{Дж}_{я} знак равно о_{я Дж} Е_{Дж},

$j_i = \sigma_{ij}E_j\;,$ куда

j_{i}

$j_i$ - i-я составляющая тока (плотность), а E_j - j-я составляющая электрического поля и

σ_{i j}

$\sigma_{ij}$ – проводимость (тензор).

По определению у нас есть текущий оператор:

\hat{{Дж}_{я}} знак равно д {\hat{в}}_{я} знак равно \frac{д}{м} {\hat{п}}_{я},

$\hat {j_i} = q \hat v_i = \frac{q}{m}\hat p_i\;,$ куда

\hat{p}

$\hat p$ - оператор импульса, q - заряд, m - масса, а ток (не оператор тока):

{Дж}_{я} (т) знак равно ⟨ Ψ (т) | \hat{{Дж}_{я}} | Ψ (т) ⟩,

$j_i(t) = \langle\Psi(t)|\hat{j_i}|\Psi(t)\rangle\;,$ куда

Ψ

$\Psi$ является состоянием КМ.

Теперь мы найдем состояние в картине взаимодействия (в отличие от картины Гейзенберга или картины Шредингера). Гамильтониан разлагается как $H=H_0+V(t)$ куда $V$ является гамильтонианом взаимодействия и $H_0$ есть невозмущенный гамильтониан, основное состояние которого мы называем $|0\rangle$ . Тогда, в первом порядке взаимодействия, состояние изображения взаимодействия будет следующим:

| Ψ^{я} (т) ⟩ знак равно | 0 ⟩ - я \int^{т} д т^{'} В^{я} (т^{'}) | 0 ⟩,

$|\Psi^I(t)\rangle = |0\rangle - i\int^t dt' V^I(t')|0\rangle\;,$ куда

В^{я} (т) знак равно е^{я {ЧАС}_{0} т} В (т) е^{- я {ЧАС}_{0} т} .

$V^I(t) = e^{iH_0t}V(t)e^{-iH_0t}\;.$

Теперь перейдем к взаимодействию, линейному в пространственно постоянном поле . $\vec E$ :

В знак равно - д ф (т) \vec{Е} \cdot \vec{р} .

$V = -qf(t)\vec E\cdot \vec r\;.$ Нб, помни, что

- \nabla ϕ = E

$-\nabla\phi = E$ . Часть, зависящая от времени

f (t)

$f(t)$ может быть что-то вроде

\sin (ω_{0} t)

$\sin(\omega_0 t)$ или любую другую чистую временную зависимость, которая нам нравится.

Таким образом, сохраняя достаточное количество членов в разложении состояния для решения j до первого порядка по E, мы имеем:

{Дж}_{я} знак равно (⟨ 0 | - я д Е_{Дж} \int^{т} д т^{'} ф (т^{'}) ⟨ 0 | {\hat{р}}_{Дж}^{я} (т^{'})) \frac{д}{м} {\hat{п}}_{я} (| 0 ⟩ + я д Е_{Дж} \int^{т} д т^{'} ф (т^{'}) {\hat{р}}_{Дж}^{я} (т^{'}) | 0 ⟩)

$j_i =\left(\langle0|-iqE_j\int^t dt'f(t')\langle 0| \hat r^I_j(t')\right) \frac{q}{m}\hat p_i \left(|0\rangle+iqE_j\int^t dt'f(t')\hat r^I_j(t')|0\rangle\right)$ Или:

{Дж}_{я} знак равно о_{я Дж} Е_{Дж},

$j_i = \sigma_{ij}E_j\;,$ куда

о_{я Дж} знак равно \frac{- я д^{2}}{м} \int^{т} д т^{'} ф (т^{'}) ⟨ 0 | [р_{Дж}^{я} (т^{'}), п_{я}] | 0 ⟩ .

$\sigma_{ij} = \frac{-iq^2}{m}\int^t dt'f(t')\langle0|[r^I_j(t'),p_i]|0\rangle\;.$

Эта специфическая связь между j и E также основана на предположении об отсутствии тока в невозмущенном основном состоянии. $|0\rangle$ .

Хавьерхерсан · Answer 5

Сначала мы имеем следующее уравнение, взятое из определяющих соотношений:

\vec{Дж} знак равно о (\vec{р}, т) * \vec{Е}

$\vec{J}=\sigma(\vec{r},t)*\vec{E}$

Кроме того, будем считать, что сигма постоянна во всей среде и не имеет временной дисперсии. Поэтому оператор свертки эквивалентен умножению.

\vec{Дж} знак равно о \cdot \vec{Е}

$\vec{J}=\sigma\cdot\vec{E}$

Мы также знаем, что электростатический потенциал (только если $\epsilon$ постоянна во всей среде):

\vec{Е} знак равно - \nabla ф

$\vec{E}=-\nabla\phi$

Таким образом, мы можем записать электрическое поле как функцию разности потенциалов или обычно известную как напряжение:

Вт знак равно \int_{1}^{2} \vec{Ф} \cdot \vec{д л} знак равно \int_{1}^{2} д \vec{Е} \cdot \vec{д л} знак равно д \int_{1}^{2} \vec{Е} \cdot \vec{д л} знак равно - д \int_{1}^{2} \nabla ф \cdot \vec{д л} знак равно - д \int_{1}^{2} д ф знак равно д \cdot (ф_{1} - ф_{2})

$W = \int ^2_{1}\vec{F}\cdot\vec{dl}= \int ^2_{1}q\vec{E}\cdot\vec{dl} = q\int ^2_{1}\vec{E}\cdot\vec{dl}=-q\int ^2_{1}\nabla\phi\cdot\vec{dl}=-q\int ^2_{1}d\phi=q\cdot(\phi_1 - \phi_2)$

В знак равно (ф_{1} - ф_{2}) знак равно \int_{1}^{2} \vec{Е} \cdot \vec{д л} ==> В знак равно Е \cdot л

$V=(\phi_1 - \phi_2)=\int ^2_{1}\vec{E}\cdot\vec{dl} ==> V=E \cdot l$

Предыдущее отношение ( $V=E \cdot l$ ) действителен только в том случае, если электрическое поле постоянно вдоль кривой l . Поэтому мы будем применять то приближение, которое выполняется в материалах с малыми потерями, т. е. диэлектрическую проницаемость $\epsilon$ не является временно дисперсионным и постоянным во всей среде $\epsilon(\vec{r},t)\cong\epsilon$ .

Наконец, мы можем вывести закон Ома как:

\int \vec{Дж} \cdot \vec{д С} знак равно \int о \cdot \vec{Е} \cdot \vec{д С} ==> я знак равно \int о \cdot \frac{В}{л} \cdot д С знак равно о \cdot \frac{В}{л} \cdot С

$\int\vec{J}\cdot\vec{dS} = \int\sigma\cdot\vec{E}\cdot\vec{dS} ==> I = \int\sigma\cdot\frac{V}{l}\cdot dS = \sigma \cdot \frac{V}{l}\cdot S$

В знак равно я \cdot р

$V=I\cdot R$

р знак равно \frac{1}{о} \cdot \frac{л}{С}

$R= \frac{1}{\sigma} \cdot \frac{l}{S}$

р е с я с т я в я т у знак равно р знак равно \frac{1}{о}

$Resistivity=\rho= \frac{1}{\sigma}$

Напоминание: средняя диэлектрическая проницаемость $\epsilon$ должны быть постоянными, а не временно дисперсионными. Это условие выполняется в подавляющем большинстве материалов проводников.

как мы докажем, что E = V/L = del(V)/del(L) (константа) по всей длине R ?
@SilverMoon Если длина сопротивления достаточно мала по сравнению с длиной волны электрического поля, мы можем игнорировать эффект распространения. Помните, что решением волнового уравнения является E(t)=|E|⋅cos(w⋅t+(2pi/лямбда)⋅R). Вы можете проверить это очень легко.
@SilverMoon А также среда не может быть временно диспергирующей, потому что, если это так, электрическое поле будет меняться.

Вывод закона Ома

хвлин

Qмеханик

Ответы (5)

Томас

Джейсон Артур Тейлор

Томас

Джейсон Артур Тейлор

Джейсон Артур Тейлор

тпг2114

Николай-К

Джейсон Артур Тейлор

hft

Хавьерхерсан

Серебряная луна

Хавьерхерсан

Хавьерхерсан

Почему начинает течь электрический ток?

Почему сила тока в цепи постоянна, если существует постоянное электрическое поле?

Электромагнитное поле и падение напряжения в цепи

Почему напряжение на двух резисторах, соединенных параллельно в цепи, одинаково?

Как протекает ток перпендикулярно проводу?

Сопротивление и ток

Каково микроскопическое объяснение того, почему в цепи с меньшим сопротивлением больше мощности?

Закон Ома и идеальный вольтметр

Распределение заряда в проводах и резисторе в цепи постоянного тока

О законе Ома