Является ли планковская длина пределом, ниже которого наша физика не имеет смысла? И если да, то почему это правда?

Стандартная модель и общая теория относительности успешны в соответствующих пределах, но их нельзя последовательно комбинировать для масштабов ниже$\sim\ell_P:=\sqrt{\dfrac{G\hbar}{c^3}}$по разным причинам. (К$\sim$, я имею в виду «плюс-минус мультипликативная константа, которая здесь не имеет значения и может быть трудно вычислима».) Например, что произойдет, если вы попытаетесь исследовать такие масштабы длины с помощью фотона? Как его длина волны будет соотноситься с радиусом Шварцшильда?

Когда вы спрашиваете о физическом значении или значении таких коротких шкал длины, это становится спорным. Я попытаюсь обобщить диапазон мнений по этому поводу, но я, вероятно, подтасую или упрощу некоторые детали:

• Теория струн утверждает, что пространство-время бесконечно делимо, но частицы имеют размер$\sim\ell_P$. Следовательно, у них есть мировые листы вместо мировых линий, что размывает вершины диаграммы Фейнмана, таким образом . Это размазывание устраняет неприятные бесконечности из трактовки гравитации.
• Петлевая квантовая гравитация, в некотором смысле, говорит об обратном: не предполагается, что частицы имеют размер, но пространство-время квантуется. Частицы живут в разных точках решетки. У площади и объема объекта есть операторы в гильбертовом пространстве, и эти операторы имеют дискретные собственные значения$\sim\ell_P^{2\,\mathrm{or}\,3}$.
• Были попытки объединить ST с LQG (мотивированные их соответствующими плюсами и минусами и получением сходных результатов из очень разных правил, например, логарифмических поправок к энтропии Хокинга-Бекенштейна черных дыр), но они находятся в зачаточном состоянии. На данный момент достаточно сказать, что такой союз внес бы оба отклонения от идеи «точечных частиц в бесконечно делимом пространстве-времени», которая вызывает проблемы СМ + ОТО.
• Другое предложение состоит в том, что$[\hat{x}_\mu,\,\hat{x}_\nu]=i\ell_P^2 \theta_{\mu\nu}$— ненулевой антисимметричный тензор. Это далеко не полная теория квантовой гравитации, но эта идея исследовалась в таких попытках. Как говорит квантовая механика$[\hat{x}_j,\,\hat{p}_k]=i\hbar\delta_{jk}$без того, чтобы собственные значения становились дискретными, приведенное выше использование некоммутативной геометрии требует только того, чтобы$\sigma_{x_\mu}\sigma_{x_\nu}\ge\frac{1}{2}\ell_P^2|\theta_{\mu\nu}|$, а не собственные значения$x_\mu$не может отличаться на сколь угодно малые доли$\ell_P$.

Последний пункт, по сути, правильный. Планковская длина — это естественная шкала длины, построенная из всех фундаментальных констант. Участие постоянных Ньютона и Планка вместе со скоростью света обеспечивают существование квантовой гравитации на таком масштабе длины. Однако ваш последний аргумент неверен. Это связано с тем, что длина Планка сама по себе не является жестким пределом, после которого вступает в действие квантовая гравитация. Правильнее будет сказать, что квантовые гравитационные эффекты начинают действовать на масштабе длины порядка планковской длины. Это может быть в 3 раза больше планковской длины и так далее или точнее$\mathcal{O}(10^{-33})$. На этом масштабе длины кривизна будет равна$\mathcal{O}\left(\frac{1}{l_p^2}\right)$, которое будет сингулярным состоянием и не может быть объяснено классической общей теорией относительности.