Является ли сокращение ∂µ∂µ \partial_{\mu} строго частной производной в теории поля?

1. Нет, один из символов частной производной$\partial_{\mu}$в уравнении ОП (2) неверно, если предполагается, что оно означает частные производные. Правильные уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) читаются

   $$\tag{2'} 0~\approx~\frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi^{\alpha}} - \sum_{\mu} \color{Red}{\frac{ d}{dx^{\mu}}} \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi^{\alpha})} + \ldots,$$ где$\approx$символ означает равенство по модулю eoms, а многоточие$\ldots$обозначает возможные высшие производные члены. Здесь $$\color{Red}{\frac{ d}{dx^{\mu}}}~=~ \frac{\partial }{\partial x^{\mu}} +\sum_{\alpha}(\partial_{\mu}\phi^{\alpha})\frac{\partial }{\partial \phi^{\alpha}} + \sum_{\alpha, \nu} (\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi^{\alpha})\frac{\partial }{\partial (\partial_{\nu}\phi^{\alpha})} + \ldots$$ это$\color{Red}{\text{total spacetime derivative}}$а не частная производная пространства-времени. См. также этот и этот связанные посты Phys.SE.

2. Отметим для полноты, что другой вид символа частной производной$\partial_{\mu}$в уравнении OP (2) верно. Его можно заменить полной пространственно-временной производной$\color{Red}{d_{\mu}}$, с$\partial_{\mu}\phi\equiv\color{Red}{d_{\mu}}\phi$по определению см. Экв. ОП. (3).

Во-первых, давайте убедимся, что мы понимаем понятие полной производной в случае частицы: сам лагранжиан является функцией с действительным знаком.$L(q,\dot{q},t)$, где$q$и$\dot{q}$рассматриваются как независимые переменные, см. этот вопрос или этот мой ответ . Когда мы говорим о «полной» производной в контексте уравнений Эйлера-Лагранжа, мы на самом деле имеем в виду, что идем по пути$q(t)$, вычислить его производную по времени$\dot{q}(t)$, то рассмотрим функцию$L(q(t),\dot{q}(t),t)$, единственный свободный аргумент которого теперь$t$, а затем возьмем производную по$t$. Говорить о «полной» или «частной» производной — это неверный способ различать лагранжиан как функцию независимых переменных.$q,\dot{q},t$(это частный случай) и лагранжиан как функция времени после включения пути, зависящего от времени (это «полный» случай). Итак, выражение$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$означает: взять лагранжиан как функцию$q,\dot{q},t$, дифференцировать по$\dot{q}$, затем подключите путь$q(t)$в полученную функцию, затем продифференцируем по$t$.

Итак, в полевом случае у нас есть функция$\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi,x)$это просто лечит$\phi$и$\partial_\mu \phi$как действительные числа, и от которых мы берем «частные» производные$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}$. Это просто производная этой функции по второму аргументу, ничего особенного, как и в случае с частицей. Теперь, еще раз, вы можете подключить поле$\phi(x)$в эту функцию, и вы получите функцию$\mathcal{L}(\phi(x),\partial_\mu \phi(x),x)$теперь это просто функция$x$, и вы можете дифференцировать этот объект. Как$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$в случае частицы$\partial_\mu$в полевой версии уравнение Эйлера-Лагранжа должно действовать следующим образом: Вы дифференцируете функцию$\mathcal{L}$относительно его второго аргумента, затем вставьте поле$\phi(x)$, затем продифференцируем полученную функцию по$x^\mu$- так что производная действительно "полная".

Для функций с 1 параметром:$\partial_t = \frac{d}{dt}$, например$\dot{q} = \frac{d q}{dt} = \partial_t q$. Однако не следует интерпретировать$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$как обычная частная производная. Уравнение Эйлера-Лагранжа (ELE) возникает из вариационного принципа$\delta S = 0$и, следовательно, выводится с помощью функциональных производных.

Мы получаем правило, согласно которому можно составить уравнение в частных производных из$\delta S = 0$путем лечения$L(q,\dot{q},t)$как функция независимых переменных$q,\dot{q},t$а затем применить ELE. Это не позволяет вам интерпретировать$L=L(q,\partial_t q, t)$как функция$q,t$в одиночку, иначе вывод ELE потерпел бы неудачу в первую очередь. Тот факт, что для функций с 1 параметром вы получаете обыкновенное дифференциальное уравнение, является просто совпадением, потому что уравнения в частных производных с 1 параметром являются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Таким образом, фактически, ELE являются дифференциальными уравнениями в частных производных для полей$\phi(t,x,y,z)$и траектории частиц$q(t)$. Однако в более поздней погоне это тоже оказывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.