Изменение плотности лагранжиана LL\mathcal{L} относительно xµxµx^{\mu}

Мы должны различать два вида производных:

$$\frac{\mathrm d\mathcal L}{\mathrm dx}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\big[\mathcal L(\phi(x+h),\phi'(x+h),x+h)-\mathcal L(\phi(x),\phi'(x),x)\big]\tag{1}$$ и $$\frac{\partial\mathcal L}{\partial x}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\big[\mathcal L(\phi(x),\phi'(x),x+h)-\mathcal L(\phi(x),\phi'(x),x)\big]\tag{2}$$

В общем, это$(2)$который равен нулю, в то время как он$(1)$который используется в теореме Нётер (для вывода, например, тензора энергии-импульса).

Например, лагранжиан Клейна-Гордона читается

$$\mathcal L\sim (\partial\phi)^2-m^2\phi^2$$ который явно не зависит от $x$. $(2)$производная явно равна нулю, т. е. $\partial L=0$. С другой стороны, при переводе $$\mathcal L\ \big|_{x\to x+a}=\mathcal L\ \big|_x+a\ \mathrm d\mathcal L\ \big|_x+\cdots$$ где $\mathrm d\mathcal L\neq 0$потому что $\mathcal L$неявно зависит от положения в полях. Это $\mathrm d\mathcal L$то, что у вас есть в определении, скажем, $T^{\mu\nu}$.

Дело в том, что следует различать полную пространственно-временную производную

$$\frac{d}{dx^{\mu}}~=~ \frac{\partial }{\partial x^{\mu}}+ \phi_{,\mu} \frac{\partial }{\partial \phi}+ \phi_{,\mu\nu} \frac{\partial }{\partial \phi_{,\nu}}+\ldots \tag{1}$$

(где многоточие обозначает вклады в случае более высоких производных по пространству-времени), а явная производная по пространству-времени

$$\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}.\tag{2}$$

Notabene: Как всегда: разные авторы используют разные обозначения для двух видов пространственно-временных производных (1) и (2). Например, Greiner, Bjorken & Drell, Ryder и т. д. используют$\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}\equiv\partial_{\mu}$для обозначения полной пространственно-временной производной.

Для получения дополнительной информации о вариационном исчислении см. также, например, этот пост Phys.SE.