Как найти производную функции (δ/δϕ)(∂µϕ)(δ/δϕ)(∂µϕ)(\delta/\delta \phi) (\partial_\mu \phi)?

Выражение$\frac{\delta \partial_\mu\phi(y)}{\delta \phi(y)}$математически бессмысленно .

По определению, задан функционал$F$связывание вещественных чисел (или, в более общем смысле, комплексных чисел)$F[\phi]$сгладить функции$\phi$, мы говорим, что распределение $\frac{\delta F}{\delta \phi(x)}$является функциональной производной от$F$, если

В рассматриваемом случае необходимо вычислить функциональную производную от функционала$F$ассоциирование$\partial_\mu \phi(y)$к$\phi$, т.е.

В итоге,$\frac{\delta \partial_\mu\phi(y)}{\delta \phi(y)}$не определено , поскольку значение в фиксированной точке нерегулярного распределения не имеет смысла.

1. Как правильно указал Вальтер Моретти в ответе, математически неправильно применять (традиционное определение) функциональную /вариационную производную (FD)

   $$\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)} \tag{1}$$ в одну и ту же точку пространства-времени.

2. Однако очень часто вводят FD «того же пространства-времени», что и

   $$\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)}~:=~ \frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\phi^{\alpha} (x)} - d_{\mu} \left(\frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\partial_{\mu}\phi^{\alpha} (x)} \right)+\ldots. \tag{2}$$ что скрывает / выдает его вариационное происхождение, но часто используется для удобства обозначений. (многоточие$\ldots$в уравнении (2) обозначает возможные вклады производных пространства-времени более высокого порядка.) См., например , этот , этот и этот посты Phys.SE.

   Если мы интерпретируем выражение OP через ур. (2), то плотность лагранжиана ОП${\cal L}=\partial_{\mu} \phi$является полной пространственно-временной производной, так что FD «того же пространства-времени» OP исчезает, ср. например, этот пост Phys.SE.