Изменение действия Эйнштейна-Гильберта без привязки к диаграмме

Во-первых, немного неясно, что именно вы хотите. Как в:

• Вам нужен подход, который вообще не использует координаты, но может, например, использовать кадры?

• Вы хотите полностью «инвариантный» подход, который абсолютно не использует какие-либо локальные тривиализации каких-либо расслоений? Если да, готовы ли вы работать с общим пространством указанных связок?

• Вы хотите, чтобы подход был глобальным , независимо от каких-либо других соображений?

• Вам нужен подход, который не использует индексы , но все остальное — игра?

---

Это мне непонятно. Тем более, что, несмотря на то, что ваша проблема с ответом Арнольда Ноймайера заключалась в том, что он использует фреймы, но приведенный вами пример электродинамики по существу также использует фреймы .

Почему? Потому что, если$P\rightarrow M$является принципалом$\text{U}(1)$пучок с главной связностью Эресмана$\omega$, то что вы называете$A$по существу определяется следующим образом. Если$(U,\varphi)$является местной частью$P$($U\subseteq M$это домен и$\varphi:U\rightarrow P$это карта), то мы определяем$A^{(U)}=-i\varphi^\ast\omega$, действует в$U$. С$\omega$является псевдотензорным$1$-форма типа$\text{Ad}$на$P$, эти откаты в перекрывающихся окрестностях не впишутся в один четко определенный глобальный объект на$M$. По существу, используя$A$это то же самое, что использовать$\omega^a_{\ b}$(формы связи) в ОТО. Также обратите внимание, что таким образом$A$корректно определен глобально тогда и только тогда, когда$P$допускает глобальные разделы.

---

С учетом сказанного существует несколько подходов, которые можно использовать для изменения действия Эйнштейна-Гильберта «инвариантным» образом.

Глобальный геометрический подход:

Самая большая трудность состоит в том, чтобы вывести изменение элемента объема$đ\mu=\sqrt{-g}d^4x$. Проще всего, конечно, расширяться по локальным координатам, но пока мы хотим этого избежать. Помимо работы непосредственно с каким-то пучком волокон, я думаю, здесь нужно использовать как минимум фреймы.

Одна из причин, по которой вам необходимо использовать здесь фреймы, заключается в том, что дифференциальная форма исчезает, когда вы вводите в нее линейно зависимые векторы. Так что если$đ\mu$является объемной формой, и$X_1,...,X_n$являются векторными полями, то

$$đ\mu(X_1,...,X_n)\neq 0\Leftrightarrow X_1,...,X_n\ \text{is a linearly independent set.}$$ Но если эти$n$векторные поля линейно независимы, то они, по существу, образуют фрейм.

Лучшее, что мы можем сделать, это использовать фреймы, но использовать их только «пассивно». Например. форма объема не определяется в терминах фрейма, но фрейм используется для получения отношений.

Мы знаем, что если$\Omega$любой$n$-форма и$đ\mu$является объемной формой, то существует функция$\alpha$такой, что

$$\Omega=\alpha\ đ\mu,$$ в частности, поскольку изменение$đ\mu$является$n$-форма, есть$\alpha$такой, что $$\delta đ\mu=\alpha đ\mu.$$

Если$(e_1,...,e_n)$— положительно ориентированный ортонормированный репер, то имеем$đ\mu(e_1,...,e_n)=1$, так что у нас есть

$$\alpha=(\delta đ\mu)(e_1,...,e_n).$$

Хотя это не самый строгий из подходов, нет ничего аморального или неправильного в том, чтобы получить его, рассматривая разложение Тейлора первого порядка. Позволять$g_\epsilon$быть однопараметрическим семейством метрик,$đ\mu_\epsilon$соответствующее 1-параметрическое семейство форм объема, и$e_a^\epsilon$соответствующее однопараметрическое семейство ортонормированных реперов.

У нас есть$g_\epsilon(e^\epsilon_a,e^\epsilon_b)=\eta_{ab}$для всех$\epsilon$, Итак$\epsilon$-производная в$0$является

$$0= \delta g(e_a,e_b)+2g(\delta e_a,e_b).$$ Поскольку$e_b$являются базисными векторами, мы имеем $$g(\delta e_a,\bullet)=-\frac{1}{2}\delta g(e_a,\bullet),$$ так $$\delta e_a=-\frac{1}{2}\delta g(e_a,\bullet)^\sharp,$$ где$\sharp$"поднимает индекс". В обозначении индекса этот результат$\delta e^\mu_a=\delta g_{\nu}^{\ \mu}e^\nu_a$. Ясно, что это выражение линейно по$e_a$, так что давайте определим$A(e_a)=\delta g(e_a,\bullet)^\sharp$быть этой линейной картой.

Теперь мы знаем, что

$$1=đ\mu_\epsilon(e_1^\epsilon,...,e^\epsilon_n)$$ для всех $\epsilon$с. Если мы продифференцируем в$\epsilon=0$, мы получаем $$0=(\deltađ\mu)(e_1...e_n)+đ\mu(\delta e_1,...,e_n)+...+đ\mu(e_1,...,\delta e_n).$$ Я лично нахожу оценку терминов, отличных от первого (который мы хотим выразить), затруднительным, поэтому вместо прямого дифференцирования в$\epsilon=0$, разложим в усеченный ряд Тейлора. На первый заказ в$\epsilon$, у нас есть $$e_a^\epsilon=e_a+\epsilon A(e_a)=(1+\epsilon A)e_a,$$ так что первый заказ в$\epsilon$у нас также есть $$1=đ\mu_\epsilon(e^\epsilon_1,...,e^\epsilon_n)=đ\mu_\epsilon(e_1,...,e_n)\det(1+\epsilon A)=đ\mu_\epsilon(e_1...e_n)(1+\epsilon\text{Tr}A)\\ =(1+\epsilon\alpha)đ\mu(e_1...e_n)(1+\epsilon\text{Tr}A)=(1+\epsilon \alpha)(1+\epsilon\text{Tr}A)=1+\epsilon(\alpha+\text{Tr}A)+O(\epsilon^2),$$ поэтому мы получаем $$\alpha=-\text{Tr}A=\frac{1}{2}\text{Tr}_g\delta g=-\frac{1}{2}\text{Tr}_g\delta g^\ast,$$ где$\text{Tr}_g$это метрическая трасса (например.$h_{\mu\nu}\mapsto h_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$), и$g^\ast$является обратной/двойственной метрикой. Мы воспользовались хорошо известным соотношением, согласно которому вариации прямой и обратной метрики отрицательны друг другу.

Таким образом, мы получили достаточно инвариантным образом, что

$$\delta đ\mu=-\frac{1}{2}\text{Tr}_g\delta g^\ast đ\mu=-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}_\ast đ\mu.$$

Для остальной части вывода я буду использовать нотацию абстрактного индекса , которая является глобальной и не содержит координат.

Мы знаем, что (вывод см. Вальд - Общая теория относительности), если$\nabla^\prime$и$\nabla$две линейные связи с разностным тензором$C:\ \nabla^\prime=\nabla+C$, то соответствующие тензоры кривизны связаны соотношением

$$R^{\prime\rho}_{\ \sigma\mu\nu}=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}+2\nabla_{[\mu} C^\rho_{\nu]\sigma}+2C_{[\mu|\lambda|}^{\rho}C^\lambda_{\nu]\sigma}.$$

В частности, пусть$\nabla^\epsilon$— 1-параметрическое семейство связностей Леви-Чивиты, индуцированное 1-параметрическим семейством метрик, и$C^\epsilon$быть 1-параметрическим семейством разностных тензоров между$\nabla^\epsilon$и невозмущенная LC-связь. Затем

$$\delta\nabla=\frac{d}{d\epsilon}\nabla^\epsilon\ |_{\epsilon=0}=\frac{d}{d\epsilon}\left(\nabla+C^\epsilon\right)_{\epsilon=0}=\frac{d}{d\epsilon}C^\epsilon |_{\epsilon=0}\equiv\delta\Gamma,$$ и$\epsilon$-семейство тензоров кривизны $$(R^{\epsilon}){}^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}+2\nabla_{[\mu}(C^\epsilon)^\rho_{\nu]\sigma}+2(C^\epsilon)^\rho_{[\mu|\lambda|}(C^\epsilon)^\lambda_{\nu]\sigma},$$ так $$\delta R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}=\nabla_\mu\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma}-\nabla_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma}.$$

Таким образом, мы разрешили вычисление вариаций связности, тензора кривизны и формы объема без использования локальных координат или разложений репера. Остальные данные вы можете заполнить самостоятельно.

Дальнейшее чтение:

«Бесс: многообразия Эйнштейна».

Это особенно рекомендуется, если вы действительно ненавидите индексы, поскольку Бесс не использует абстрактную нотацию индекса, он использует стандартную математическую нотацию. Однако он не выводит вариацию формы тома, а просто оставляет ее читателю в качестве упражнения. Соответствующие разделы: Глава 1 — K: Первые варианты тензорных полей кривизны и Глава 4 — C: Полная скалярная кривизна: свойства первого порядка .

Ортонормированный кадровый подход:

Это было описано в ответе Арнольда Ноймайера, и это подход, который ближе всего к вашему примеру электродинамики по духу. Замечу только одно: если мы хотим, чтобы проблема начальных значений в ОТО была четко определена, мы хотим, чтобы пространство-время было глобально гиперболическим, что подразумевает, что топологически$M=\mathbb R\times\Sigma$. С$\mathbb R$параллелизуема, параллелизируемость$M$зависит от того, является ли 3-многообразие$\Sigma$параллелизуется или нет.

С физической точки зрения мы хотим, чтобы пространство можно было ориентировать, поэтому$\Sigma$должен быть ориентирован. Однако известно, что каждое ориентируемое 3-многообразие можно распараллелить , поэтому, если эти физически разумные требования выполняются, то 4-мерное пространство-время можно распараллелить.

Следовательно, эти подходы к ОТО, основанные на ортонормированном фрейме, на самом деле глобальны!

Дальнейшее чтение:

"Тирринг: Курс математической физики Том 2"

«Штрауман: Общая теория относительности»

Книги группы Loop Quantum Gravity, такие как Thiemann, Rovelli, Gambini и т. д., также склонны трактовать принцип действия ОТО через ортонормированные системы отсчета.

Принципиальный пакетный подход:

Вы можете рассматривать каждое тензорное поле (на$M$) как некоторый массив функций на расслоении фреймов$M$которые удовлетворяют некоторым свойствам эквивалентности.

Например, в обычных подходах, основанных на фреймах, векторное поле выглядит примерно так:$V^a(x)$. Но эти компоненты зависят не только от точки многообразия$x$но и на кадре, выбранном в$x$. Так что эти$V^a$на самом деле являются функциями на связке фреймов:

$$V^a(x,e),$$ где точки пучка фреймов$F(M)\rightarrow M$обозначаются как пары$(x,e)$, где$e$это кадр в$x$.

Эти функции определяют векторное поле тогда и только тогда, когда для любого$\Lambda\in\text{GL}(n,\mathbb R)$, у нас есть

$$V^a(x,e\Lambda)=(\Lambda^{-1})^a_{\ b}V^b(x,e)$$ свойство эквивалентности. Аналогично для других тензорных полей.

Важно отметить, что, несмотря на индексы и компоненты, эти функции являются глобальными и полностью инвариантными .

Можно разработать тензорное исчисление на расслоении фреймов, которое по существу отражает обычное локальное тензорное исчисление на основе индекса на базовом многообразии, но является глобальным и полностью независимым от фреймов и координат.

Дальнейшее чтение:

«Дэвид Бликер: Калибровочная теория и вариационные принципы»

В этой книге калибровочные теории, гравитация и калибровочные теории + гравитация рассматриваются полностью инвариантным и математически точным образом с использованием основных расслоений, включая принципы действия.

Существует ли аналогичный полностью ковариантный и независимый от координат вывод уравнений поля Эйнштейна из действия Эйнштейна-Гильберта?

Да. Ковариантный вывод на основе действий без координат приведен, например, в главе 4.2 учебника.

В. Тирринг, Курс математической физики, Том 2 , Классическая теория поля, Спрингер, Нью-Йорк, 1978.

Вывод элементарный: просто замените каждое поле полем+вариацией, вычислите члены первого порядка в вариации, используйте интегрирование по частям и прочтите уравнения движения. Каждый шаг является элементарным, ковариантным и бескоординатным, следовательно, и весь вывод.