Является ли цветовой заряд наблюдаемым в квантовой механике?

Цветовой заряд в смысле «быть синим, красным, зеленым» не является квантово-механическим наблюдаемым, потому что$\mathrm{SU}(3)$калибровочные преобразования смешивают цвета. Это означает, что бессмысленно говорить: «У нас есть синяя частица», потому что мы можем выполнить калибровочное преобразование, и тогда у нас будет «красная частица». Поскольку физические описания, связанные с калибровочными преобразованиями, эквивалентны, нет никакой разницы между «наличием красной частицы» и «наличием синей частицы». Вы не можете , даже в принципе, определить «цвет» объекта в этом смысле.

Популярные фразы о «красных, синих и зеленых» кварках на самом деле бессмысленны . Они дают хорошую эвристику, потому что «язык цвета» позволяет сделать множество интуитивных выводов о неинтуитивной теории групп, но «красных, синих или зеленых» кварков не существует . Объекты в теории, связанные калибровочным преобразованием, буквально одинаковы , нет никакой разницы между «красным кварком» и «зеленым кварком» — кварк есть кварк есть кварк.

Что мы можем сказать (если вам удастся деконфайнментировать заряженные цветом вещества, поскольку ограничение означает, что мы видим только бесцветные объекты), так это: «У меня есть заряженная цветом частица», и указать, «какой цветовой заряд» у нее есть. , то есть имеет ли он просто цвет (как кварки), или цвет-антицвет (как глюоны), или цвет-антицвет-антицвет (как ничто из того, что мы знаем) и так далее. (Формально они соответствуют разным$\mathrm{SU}(3)$репрезентации) Это — «цвет/цвет-антицвет/цвет-антицвет-антицвет/...» — правильное обобщение$\mathrm{U}(1)$электрического заряда к неабелевым калибровочным теориям.

Обычно заряд, на который мы ссылаемся в КТП, означает нётеровский заряд некоторой глобальной (т.е. физической) симметрии. Например, заряд Нётер, связанный с глобальным$U(1)$преобразование в КЭД называется электрическим зарядом. С этим надо быть осторожным$U(1)$преобразование, потому что многие люди путали его с$U(1)$-калибровочная инвариантность в КЭД, т.е. избыточность при локальном$U(1)$-трансформация.

Теоремы Нётер применимы только к глобальным симметриям. Вы можете попробовать применить его к калибровочному (то есть локальному) преобразованию и найти сохраняющуюся величину, но это не физическая наблюдаемая, потому что она не является калибровочным инвариантом.

Точнее, сохраненное количество, которое у вас есть для$U(1)$-калибровочное преобразование$A^{\mu}\rightarrow A^{\mu}+\partial^{\mu}\Lambda$является

$$J^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\delta A_\nu=-\frac12 F^{\mu\nu}\partial_\nu\Lambda,$$

который действительно сохраняется, но не является калибровочно-инвариантным.

То же самое относится к$SU(3)$-калибровочная теория. Цвета кварков сохраняются, но не калибровочно инвариантны. В КЭД можно рассматривать глобальную симметрию U(1) заряженного фермиона как «глобальную часть»$U(1)$-калибровочная инвариантность. Однако в неабелевом случае легко видеть, что «глобальная часть»$SU(3)$является ее центром, который является дискретной подгруппой. Другими словами, не следует ожидать связанного с ним сохраняющегося тока.

Вместо этого, учитывая лагранжиан$SU(3)$калибровочная теория,

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}\mathrm{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})+\bar{\Psi}(iD\!\!\!\!/-m)\Psi,$$

один находит ток

$$J^{\mu}=\sum_{a=1}^{N}\left(\bar{\Psi}\gamma^{\mu}T_{a}\Psi\right)T_{a}$$

который ковариантно сохраняется, т.е.$D_{\mu}J^{\mu}=0$, следуя его уравнениям движения. Обратите внимание, что этот ток локально не сохраняется из-за ковариантной производной. Другими словами, это не ток Нётер.

С другой стороны, в КХД все еще существуют глобальные симметрии, т.е. сохранение барионного числа (т.е.$U(1)$симметрия) и сохранение номера аромата и т. д.

Поскольку @octonian упомянул об этом, следует подчеркнуть, что здесь текущий

$$J^{\mu}=\sum_{a=1}^{N}\left(\bar{\Psi}\gamma^{\mu}T_{a}\Psi\right)T_{a}$$

для неабелевой калибровочной теории не является калибровочно-инвариантной. Прежде всего, ток возникает из уравнений движения

$$D_{\mu}F^{\mu\nu}=J^{\nu} \tag{1}$$ $$(iD\!\!\!\!/-m)\Psi=0 \tag{2}$$

где уравнение (1) представляет собой уравнение Янга-Миллса, являющееся неабелевой версией неоднородной пары уравнений Максвелла. Под$SU(3)$-калибровочное преобразование,

$$F^{\prime}=UFU^{-1},\quad D^{\prime}=UDU^{-1},\quad\mathrm{and}\quad J^{\prime}=UJU^{-1},$$

откуда следует, что уравнения движения инвариантны относительно калибровочного преобразования, т.е.

$$D^{\prime}\star F^{\prime}=J^{\prime}.$$

Ковариантное сохранение$J$можно легко проверить:

$$\begin{align} D\star J&=DD\star F \\ &=F\wedge\star F-\star F\wedge F \\ &=F^{a}\wedge\star F^{b}[T_{a},T_{b}] \\ &=F^{a}\wedge\star F^{b}f_{ab}^{\,\,\,\,c}T_{c} \\ &=\left\langle F^{a},F^{b}\right\rangle f_{ab}^{\,\,\,\,c}T_{c} \\ &=0, \end{align}$$

где в последней строке тот факт, что$f_{ab}^{\,\,\,\,c}$антисимметричен относительно$a$и$b$был использован.

---

Чтобы избежать дальнейших недоразумений, обратите внимание, что здесь кривая 2-форма$F=dA+A\wedge A$. Поскольку это было упомянуто @octonion в разделе комментариев, следует подчеркнуть, что$F=0$не подразумевает плоское соединение$A=0$！Это верно даже в абелевой калибровочной теории. Это легко понять, если вычислить символы Кристоффеля в сферических координатах пространства-времени Минковского. Что текущий$J$ковариантно сохраняется — особое свойство неабелевой калибровочной теории. Напротив, в абелевой калибровочной теории неоднородная пара уравнений Максвелла читается

$$\star d\star F=j,$$

и текущий$j$всегда локально сохраняется, т.е.$d\star j=0$, независимо от того, является ли кривизна$F$исчезает или нет.