Является ли закон Торричелли «неправильным» для больших дыр? - Проблема слива бака

Чтобы ответить на ваш вопрос: -

Но что произойдет, если мы не будем делать это предположение о размере отверстия и просто подставим первое уравнение?

Но тогда мы уже не можем использовать уравнение$\frac{1}{2}v_{2}^{2} = \frac{1}{2}v_{1}^{2} + gh_{1}$, поскольку предположение$A_{2} \ll A_{1}$необходимо для вывода этого уравнения, т.е. применение уравнения Бернулли (BE) требует, чтобы мы предположили$A_{2} \ll A_{1}$. Причина этого в том, что нам нужно аппроксимировать движение жидкости как установившийся поток, чтобы использовать BE. BE получен для трубки потока при установившемся течении идеальной (т.е. несжимаемой и невязкой) жидкости - например, см. University Physics, Sears & Zemansky, 13-е изд., стр. 385 .

Применяя BE непосредственно для вывода закона Торричелли (TL), мы рассматриваем жидкость в резервуаре, как если бы она была такой трубкой потока. В частности, требование стационарного потока означает, что мы должны иметь$A_{2} \ll A_{1}$, и поэтому$v_{1} \ll v_{2}$, так что за небольшой промежуток времени$\Delta t$уровень жидкости падает очень незначительно. При значительной скорости$v_{1}$это предположение не работает - приближение стационарного потока больше не является хорошим. Простой эксперимент показывает, что на практике скорость на выходе действительно меняется со временем по мере падения высоты, и, следовательно, фактически установившийся поток не существует, а только приблизительно так, когда$A_{2} \ll A_{1}$. Также с большей$A_{2}$существует возможность значительной турбулентности потока.

Чтобы точно увидеть, как необходимо это приближение установившегося потока, а также ответить на ваш вопрос: -

«Как бы вы вывели закон Торричелли без уравнения Бернулли?»

мы можем рассмотреть тело жидкости за короткое время$\Delta t$и отношение работы к энергии для него. (Обратите внимание, бак может иметь сложную форму, с загнутыми боками и дном). Вывод TL ниже параллелен выводу в приведенной выше книге BE для трубки потока при установившемся потоке, но я обсудил немного более подробно упрощающие предположения, необходимые для TL в отношении сил, действующих на жидкость и внутри нее, и отметил, как приближение стационарного течения необходимо для упрощения расчета$\Delta KE$. Это показывает, почему TL не применяется в определенных ситуациях, таких как та, что в вашем посте. Отношение работы к энергии равно

$$W^{(NC)} = \Delta ME$$

где$W^{(NC)}$= работа всех неконсервативных (NC) сил, действующих на жидкость, и$\Delta ME = \Delta KE + \Delta PE$= сумма изменений кинетической энергии и потенциальной энергии жидкости за время$\Delta t$.

Приведенное выше соотношение работы и энергии применимо к любому телу или системе частиц (где применима ньютоновская механика). В этом случае силы NC включают в себя все силы, кроме силы тяжести. Эти силы NC, действующие на жидкость, включают:

1. Внешние силы NC

   а) силы от давления$p_{1}$и$p_{2}$

   б) силы, действующие на жидкость со стороны стенок и дна сосуда

   Поскольку жидкость считается невязкой, тангенциальная «фрикционная» составляющая b) равна нулю, оставляя только нормальную составляющую. Мы предполагаем, что скорость любого элемента жидкости, примыкающего к стенке/дну сосуда, всегда чисто тангенциальна к стенке/дну, поэтому нормальная составляющая b) выполняет нулевую работу над этим элементом жидкости. (Мы предполагаем, что не происходит никаких неупругих столкновений, которые могли бы вызвать потерю KE жидкости).

2. Внутренние силы НЗ

   Они воздействуют на элемент жидкости соседними элементами жидкости. В ламинарном потоке соседний элемент будет либо двигаться вместе с элементом, и в этом случае равные и противоположные внутренние силы совершают нулевую результирующую работу, поскольку их точки приложения являются общими, либо он будет скользить по элементу с нулевой силой вязкости. , следовательно, совершая нулевую работу (нормальная составляющая между элементами не будет совершать работу при таком скольжении, так как она перпендикулярна движению). (Обратите внимание, что такие элементы, движущиеся вместе, подобны элементам обычного твердого тела, и в последнем случае мы можем показать, что суммарная работа внутренних сил равна нулю, потому что эти силы входят в равные и противоположные пары, действующие на внутренние грани между элементами, каждая пара имеет общая точка приложения).

Таким образом, всего$W^{(NC)}$происходит исключительно за счет двух сил давления, которые действуют нормально на поверхности жидкости,$p_{1}$по направлению движения и$p_{2}$против этого :-

$$\begin{eqnarray*} W^{(NC)} &=& p_{1}A_{1}\Delta s_{1} - p_{2}A_{2}\Delta s_{2} \\ &=& \Delta V(p_{1} - p_{2}), \end{eqnarray*}$$

где$\Delta V = A_{1}\Delta s_{1}$= объем региона$R_{1}$(рис. 1) =$A_{2}\Delta s_{2}$= объем региона$R_{2}$(Рисунок 1).

Из рис. 1, поскольку плотность$\rho$однородна, одна и та же масса теряется в$R_{1}$как получается в$R_{2}$, а масса в$R_{3}$одинаково до и после, поэтому мы имеем

$$\begin{eqnarray*} \Delta PE &=& \rho g \Delta V(y_{2} - y_{1}) \\ &=& -\rho g \Delta V h \end{eqnarray*}$$

Чтобы определить$\Delta KE$обратите внимание на KE жидкости, движущейся со скоростью$v_{1}$теряется в регионе$R_{1}$, и КЭ жидкости, движущейся со скоростью$v_{2}$набирается в регионе$R_{2}$, а общий КЭ в регионе$R_{3}$остается прежним, так как в предположении приблизительно стационарного течения поле скоростей на всем протяжении$R_{3}$остается прежним$\Delta t$(это фактически предполагает$R_{3}$вклад меньшего порядка в$\Delta KE$чем комбинированный эффект$R_{1}$и$R_{2}$). Таким образом

$$\Delta KE = \frac{1}{2}\rho\Delta V v_{2}^{2} - \frac{1}{2}\rho\Delta V v_{1}^{2}.$$

Соединив приведенные выше уравнения и разделив их на$\Delta V$мы получаем

$$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2}\rho(v_{2}^2 - v_{1}^{2}) - \rho gh.$$

В типичном случае, когда$p_{1}$и$p_{2}$оба находятся при атмосферном давлении, это сводится к уравнению

$$\frac{1}{2}v_{2}^{2} = \frac{1}{2}v_{1}^{2} + gh$$

и, таким образом,

$$\frac{1}{2}v_{2}^{2} = gh$$

из-за$v_{1}$будучи маленьким, следовательно, приводя к TL.

Другой сценарий, когда TL выходит из строя, обсуждается в вопросе SE «Почему кажется, что закон Торричелли не работает, когда вода ускоряется после того, как я засунул палец в шланг?», где бак сливается из шланга, прикрепленного к выходному отверстию, и наблюдается увеличение скорости истечения , если палец частично поместить на конец шланга. Здесь TL не работает из-за предположений относительно$W^{(NC)}$больше не действует - трение играет гораздо большую роль в узком поперечном сечении шланга, чем вдоль более широких границ резервуара, и возникает некоторая турбулентность. Общий поток более сложен, чем упрощенный сценарий TL. Трение вносит отрицательный вклад в$W^{(NC)}$и уменьшает KE от значения, заданного TL. (TL утверждает, что все потери PE конвертируются в KE на выходе). Сужение выходного отверстия шланга также оказывает воздействие на жидкость, вызывая неупругие столкновения и потерю КЕ, но благодаря эффекту замедления также снижает трение внутри шланга. Даже если бы общая КЕ была меньше из-за сужения выходного отверстия шланга, скорость на выходе все равно могла бы увеличиться, поскольку объемный расход жидкости = Av, а A уменьшился.

Еще один интересный эксперимент, который можно попробовать с TL, — это случай, когда$p_{1} \neq p_{2}$. Здесь мы находим вопреки здравому смыслу, что выходная скорость равна НОЛЬ : -

Просверлите отверстие возле дна пластиковой бутылки, наполните его водой и закрутите крышку - тогда вода не будет течь из отверстия вообще! (Я пробовал это с отверстиями диаметром 3 мм и 8 мм). Произошло то, что воздушная полость над водой немного расширилась (около 1% или около того), так как уровень воды немного упал, так что давление (по закону Бойля) упало примерно на 1% (т. е. несколько см водяного столба). давление - обратите внимание, давление воды на 10 м = 1 атм = примерно 100 000 Па). Тогда давление воды в отверстии равно атмосферному давлению, поэтому потока не происходит. Другими словами, у нас есть$p_{1} < p_{2}$, и$p_{1} - p_{2} = -\rho gh$- и, следовательно, из приведенного выше уравнения$v_{2} = 0$. Если мы постепенно наклоним бутылку в сторону, наступит точка, в которой уровень воды уменьшится настолько, что давление внутри отверстия понизится настолько, что станет ниже атмосферного давления, так что воздух будет проникать в отверстие, вызывая поток пузырьков вверх. в воздушную полость. Отвинчивание крышки, когда бутылку держат вертикально, немедленно приведет к$p_{1} = p_{2}$, и вода вытечет из отверстия (и TL снова будет действительным). Повторное завинчивание крышки немедленно остановит поток. TL здесь не работает, потому что$p_{1} \neq p_{2}$. Принцип этого эксперимента такой же, как и в хорошо известном эксперименте с перевернутой чашкой воды с картой.

Случай, когда предположение$A_{2} \ll A_{1}$может сломаться, но не будет проблемой, это при использовании TL для расчета времени опорожнения для определенных форм резервуара, например, горизонтального цилиндрического резервуара, где$A_{2} \ll A_{1}$явно недействителен, когда уровень жидкости близок к верхней или нижней части бака. Однако действительная формула получается для всех уровней не слишком близко к верху или низу, и в пределе это все еще дает хорошее приближение к времени опорожнения.

(Эта формула, полученная путем решения дифференциального уравнения:

$$\Delta t = \frac{L}{3A_{H}} \sqrt{\frac{8}{g}} \left[ (D - y_{2})^{3/2} - (D - y_{1})^{3/2} \right ],$$

давая время для уровня упасть с$y_{1}$к$y_{2}$, где$D$= диаметр,$L$= длина,$A_{H}$= площадь отверстия - как, например, указано в этом техническом паспорте , с «коэффициентом расхода» приблизительно 1).

Я не думаю, что это такая большая проблема, как кажется.

Рассмотрим более подробно предположение об установившемся режиме.$v_2$это конечная скорость, проходящая через отверстие после того, как прошло достаточно времени, чтобы произошло ускорение. Сразу после того, как вы откроете отверстие, все станет неподвижным. Существует фаза ускорения, которая обычно занимает короткий промежуток времени.

Это предположение отличается от$A_1 \gg A_2$предположение, но их комбинация разрушает сценарии, в которых дыра велика по сравнению с площадью поверхности воды. После всего,$h_1$находится в выражении для$v_2$. Это означает, что у нас есть два действующих фактора: 1) начальное ускорение жидкости подавляет скорость на раннем этапе и 2) истощение уровня воды подавляет скорость к концу потока. Итак, чтобы ответить на ваш вопрос:

Итак, возникает вопрос: какой эффект будет, если мы удалим предположение, что «A2<<A1» при выводе закона Торричелли?

Я думаю, вы сделали это правильно. Бесконечный поток предсказывается из-за заведомо неверных предположений. Он просто не успевает ускориться до того, как уровень воды существенно уменьшится, и вы могли бы использовать это, чтобы вывести некоторые очень четкие границы применимости, вне которых поток никогда не приближается к предсказанию уравнения.

Принцип Бернулли представляет собой упрощение уравнений Навье-Стокса , а именно предполагает постоянную плотность и стационарное состояние .

В ситуации, когда$A_2$имеет почти такую ​​же площадь поверхности, как$A_1$будет трудно удовлетворить предположение, что система находится в устойчивом состоянии. В реальной жизни также будут некоторые потери на трение, но если вы пренебрежете ими, то вы действительно можете сказать, что жидкость находится в свободном падении, поэтому скорость будет увеличиваться линейно с течением времени, и поэтому устойчивое состояние никогда не будет достигнуто.

Также обратите внимание, что когда отверстие только что открыто, поток также не будет в устойчивом состоянии. Однако время, необходимое для достижения примерно постоянной скорости потока, часто очень мало по сравнению со временем, которое требуется для опорожнения резервуара.