Зачем использовать ограничения в начале в выражении Гамильтона?

TL; DR: OP прав: есть несколько эквивалентных способов построения гамильтоновой формулировки, некоторые применяют ограничения в начале, некоторые на более позднем этапе.

Ниже давайте проиллюстрируем, как это работает на примере OP:

1. Начнем с системы с лагранжианом

   $$L_1~:=~L_0 + \lambda \chi_1, \qquad L_0~:=T-V,$$ $$T ~:=~\frac{m}{2}(\dot{\ell}^2+\ell^2\dot{\theta}^2), \qquad V~:=~-mg\ell\cos\theta, \tag{A}$$ с множителем Лагранжа$\lambda$и голономное ограничение $$\chi_1~:=~\ell-\ell_0+\alpha t~\approx~0. \tag{B}$$ Обратите внимание, что ограничение$\chi_1$(и, следовательно, лагранжиан$L_1$) несут явную зависимость от времени. Лагранжевы импульсы читаются $$p_{\ell}~:=~\frac{\partial L_1}{\partial \dot{\ell}}~=~m\dot{\ell}, \qquad p_{\theta}~:=~\frac{\partial L_1}{\partial \dot{\theta}} ~=~m\ell^2\dot{\theta}.\tag{C}$$ Затем выполните анализ Дирака-Бергмана. Голый гамильтониан читается $$H_0~:=~\frac{p_{\ell}^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2}. \tag{D}$$ Интересно, есть вторичное ограничение $$0~\approx~\frac{d\chi_1}{dt}~\approx~\{\chi_1, H_0\} + \frac{\partial\chi_1}{\partial t}~=~\frac{p_{\ell}}{m}+\alpha .\tag{E}$$ В конце концов соответствующий гамильтониан становится $$H_1~=~\frac{p_{\ell}^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -\lambda \chi_1-\lambda^{\prime} \left( \frac{p_{\ell}}{m}+\alpha\right) \tag{F}.$$ Можно исключить/интегрировать ограничения в уравнении. (Ф).

2. Другая возможность состоит в том, чтобы устранить ограничение$\chi_1$и радиальная координата$\ell$с самого начала:

   $$L_2~:=~\frac{m}{2}(\ell_0-\alpha t)^2 \dot{\theta}^2+mg(\ell_0-\alpha t)\cos\theta, \tag{G}$$ а затем выполнить преобразование Лежандра.

3. Третья возможность состоит в том, чтобы переписать голономное ограничение$\chi_1$как полуголономная связь

   $$\chi_3~:=~\dot{\ell}+\alpha~\approx~0. \tag{H}$$ Тогда лагранжиан читается $$L_3~:=~L_0 + \lambda \chi_3.\tag{I}$$ Лагранжевы импульсы читаются $$p_{\ell}~:=~\frac{\partial L_3}{\partial \dot{\ell}}~=~m\dot{\ell}+\lambda, \qquad p_{\theta}~:=~\frac{\partial L_3}{\partial \dot{\theta}}~=~m\ell^2\dot{\theta}. \tag{J}$$ В конце концов соответствующий гамильтониан становится $$H_3~=~\frac{(p_{\ell}-\lambda)^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -\lambda \alpha \tag{K}.$$

4. Интересно, что множитель Лагранжа$\lambda$входит квадратично в уравнение. (К). Он может быть интегрирован. Результирующий гамильтониан становится (после отбрасывания постоянных членов)

   $$H_4~=~ \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -p_{\ell} \alpha .\tag{L}$$

Все вышеперечисленные подходы ведут к одной и той же базовой системе EOM:

$$\dot{p}_{\theta}~\approx~-\frac{\partial V}{\partial \theta}, \qquad p_{\theta}~\approx~~m\ell^2\dot{\theta}, \qquad \dot{\ell}+\alpha~\approx~0.\tag{M}$$

Вы не можете просто написать

$${H} = p_\theta \dot{\theta} + p_l \dot{l} - { L},$$ потому что $l$не соответствует степени свободы системы, так как эта переменная не может свободно изменяться. Вы не получите $l(t)$минимизируя действие, оно уже фиксируется реономическим ограничением $dl/dt=-\alpha$. Другими словами, $l$не является координатой фазового пространства и не существует $p_l$.

Вам нужно написать лагранжиан для системы с одной степенью свободы,

$$L=\frac{m}{2}(l^2\dot\theta^2+\alpha^2),$$ а затем гамильтониан, $$H=p_\theta\dot\theta-L.$$