Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Question

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Бен С

Я играл с гамильтоновой моделью распространения фотонов:

\begin{matrix} (1) & ЧАС "=" с \sqrt{п \cdot п} + В (д) \end{matrix}

$H = c \sqrt{p \cdot p} + V(q) \tag{1}$

что дает осмысленный набор уравнений движения,

\begin{matrix} (2) & {\dot{д}}_{я} "=" с \frac{п_{я}}{\sqrt{п \cdot п}} {\dot{п}}_{я} "=" - \frac{\partial В (д)}{\partial д_{я}} . \end{matrix}

$\dot{q}_i = c \frac{p_i}{\sqrt{p \cdot p}} \quad \quad \dot{p}_i = - \frac{\partial V(q)}{\partial q_i}. \tag{2}$

Заметить, что

\begin{matrix} (3) & \dot{д} \cdot \dot{д} "=" с^{2} \end{matrix}

$\dot{q} \cdot \dot{q} = c^2\tag{3}$ всегда, поэтому я рассматривал это как моделирование распространения безмассовой частицы.

Однако этот гамильтониан имеет следующую странную особенность. Если мы выполним преобразование Лежандра, чтобы найти соответствующий лагранжиан,

\begin{matrix} (4) & л "=" п \cdot \dot{д} - ЧАС "=" с \frac{п \cdot п}{\sqrt{п \cdot п}} - (с \sqrt{п \cdot п} + В (д)) "=" - В (д) \end{matrix}

$\mathcal{L} = p \cdot \dot{q} - H = c \frac{p \cdot p}{\sqrt{p \cdot p}} - \left( c \sqrt{p \cdot p} + V(q) \right) = - V(q) \tag{4}$ который не динамичен, так как

\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} = 0$ .

Аналогичная проблема возникает, если я рассматриваю двойственную лагранжеву систему в $q, \dot{q}$ переменных и попытаться найти гамильтониан преобразованием Лежандра:

\begin{matrix} (5) & л "=" с \sqrt{\dot{д} \cdot \dot{д}} - В (д) \end{matrix}

$\mathcal{L} = c \sqrt{\dot{q} \cdot \dot{q}} - V(q) \tag{5}$ то мы получаем корректно определенные уравнения Эйлера-Лагранжа:

\begin{matrix} (6) & \frac{г}{г т} (с \frac{{\dot{д}}_{я}}{\sqrt{{\dot{д}}_{я} \cdot {\dot{д}}_{я}}}) "=" - \frac{\partial В (д)}{\partial д_{я}} \end{matrix}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( c \frac{\dot{q}_i}{\sqrt{\dot{q}_i \cdot \dot{q}_i}} \right) = - \frac{\partial V(q)}{\partial q_i}\tag{6}$ который становится:

\begin{matrix} (7) & (\dot{д} \cdot \dot{д}) {\ddot{д}}_{я} - (\dot{д} \cdot \ddot{д}) {\dot{д}}_{я} + (\dot{д} \cdot \dot{д})^{3 / 2} \frac{\partial В (д)}{\partial д_{я}} "=" 0. \end{matrix}

$(\dot{q} \cdot \dot{q}) \ddot{q}_i - (\dot{q} \cdot \ddot{q}) \dot{q}_i + (\dot{q} \cdot \dot{q})^{3/2} \frac{\partial V(q)}{\partial q_i} = 0.\tag{7}$ Однако, если мы попытаемся найти ассоциированный гамильтониан,

\begin{matrix} (8) & ЧАС "=" п \cdot \dot{д} - л "=" с \frac{\dot{д} \cdot \dot{д}}{\sqrt{\dot{д} \cdot \dot{д}}} - (с \sqrt{\dot{д} \cdot \dot{д}} - В (д)) "=" В (д) \end{matrix}

$H = p \cdot \dot{q} - \mathcal{L} = c \frac{\dot{q} \cdot \dot{q}}{\sqrt{\dot{q} \cdot \dot{q}}} - \left( c \sqrt{\dot{q} \cdot \dot{q}} - V(q) \right) = V(q) \tag{8}$ что опять же нединамично.

Что здесь происходит? Есть ли интересная причина, по которой эти системы не должны допускать лагранжево/гамильтоново описание? В общем, когда я должен ожидать, что преобразование Лежандра даст мне хорошо работающую систему, которая воспроизводит физику, с которой я начал?

Дж. Г.

Это может быть связано с тем, что зависимость от импульса линейная.

Хиральная аномалия

Связанный: гамильтониан для релятивистской свободной частицы равен нулю

Ответы (1)

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Это может быть связано с тем, что зависимость от импульса линейная.
Связанный: гамильтониан для релятивистской свободной частицы равен нулю

Qмеханик · Answer 1

Лагранжиан можно построить непосредственно, выполнив анализ ограничений Дирака-Бергмана для гамильтониана OP (1). В уравнении (3) OP уже правильно определил основное ограничение $^1$
$\begin{matrix} (А) & {\dot{Икс}}^{2} "=" г_{мю ν} (Икс) {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν} \approx 0, {\dot{Икс}}^{мю} "=" \frac{г {Икс}^{мю}}{г т}, \end{matrix}$ $\dot{x}^2~:=~g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~\approx ~0, \qquad \dot{x}^{\mu}~:=~\frac{dx^{\mu}}{d\tau}, \tag{A}$ где $\tau$ - параметр мировой линии (WL) (который не обязательно должен быть собственным временем).
Лагранжиан становится безмассовым пределом $^2$
$\begin{matrix} (Б) & л "=" λ {\dot{Икс}}^{2} - \frac{м^{2}}{4 λ} - В, \end{matrix}$ $L~=~\lambda \dot{x}^2-\frac{m^2}{4\lambda} - V,\tag{B}$ где $\lambda(\tau)$ есть множитель Лагранжа , ср. например, этот пост Phys.SE.
Импульс для лагранжиана равен
$\begin{matrix} (С) & п_{мю} "=" \frac{\partial л}{\partial {\dot{Икс}}^{мю}} "=" 2 λ г_{мю ν} (Икс) {\dot{Икс}}^{ν}, \end{matrix}$ $p_{\mu}~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\mu}}~=~2\lambda g_{\mu\nu}(x)~\dot{x}^{\nu}, \tag{C}$ так что соответствующий гамильтониан равен $\begin{matrix} (Д) & ЧАС "=" \frac{п^{2} + м^{2}}{4 λ} + В . \end{matrix}$ $H~=~\frac{p^2+m^2}{4\lambda} + V. \tag{D}$
Поэтому гамильтонов лагранжиан становится
$\begin{matrix} (Е) & л_{ЧАС} "=" п_{мю} {\dot{Икс}}^{мю} - ЧАС . \end{matrix}$ $L_H~:=~ p_{\mu} \dot{x}^{\mu} - H. \tag{E}$
Теперь перейдем к статическому манометру. $x^0=\tau$ . Если мы интегрируем $p^0$ и $\lambda$ , мы получаем $^3$
$\begin{matrix} (Ф) & \begin{aligned} {л_{ЧАС} |}_{{Икс}^{0} "=" т} \overset{п^{0}}{⟶} & п \cdot \dot{Икс} - \underset{гамильтониан}{\underset{⏟}{(λ + \frac{п^{2} + м^{2}}{4 λ} + В)}} \\ \overset{λ}{⟶} & п \cdot \dot{Икс} - \underset{гамильтониан}{\underset{⏟}{(\sqrt{п^{2} + м^{2}} + В)}} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \left. L_H\right|_{x^0=\tau} \quad\stackrel{p^0}{\longrightarrow}&\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x}- \underbrace{\left(\lambda + \frac{{\bf p}^2+m^2}{4\lambda} + V\right)}_{\text{Hamiltonian}}\cr\cr \quad\stackrel{\lambda}{\longrightarrow}&\quad {\bf p}\cdot \dot{\bf x} - \underbrace{\left(\sqrt{{\bf p}^2+m^2}+V\right)}_{\text{Hamiltonian}} .\end{align}\tag{F}$
Если положить массу $m\to 0$ тогда гамильтониан с квадратным корнем (F) становится в точности гамильтонианом OP (1). Это подтверждает наше утверждение о том, что безмассовый предел уравнения (B) искомый лагранжиан OP.

--

$^1$ Будем работать в единицах, где скорость света $c=1$ и с соглашением о знаках Минковского $(-,+,+,+)$ .

$^2$ Масстерм в уравнении. (B) включен для общности и не является существенным. Единственная немного странная вещь заключается в том, что мы ограничиваем $\lambda$ целевое пространство от $\mathbb{R}$ к $\mathbb{R}_+$ . Этот последний момент также обсуждается в моем ответе Phys.SE здесь .

$^3$ Подобный аргумент был дан в уравнении. (3) моего ответа Phys.SE здесь , где множитель Лагранжа $\lambda=\frac{1}{2e}$ заменяется полем Эйнбейна $e$ .

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Бен С

Дж. Г.

Хиральная аномалия

Ответы (1)

Qмеханик

Путаница с виртуальными смещениями

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципов Гамильтона и Даламбера

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Чем полезен принцип Мопертюи?

Почему ppp и qqq являются независимыми переменными в гамильтоновом формализме?

Как вывести уравнение движения Лагранжа из уравнения Рута?

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа для обобщенных координат без «виртуальной работы»?

Математическое обоснование преобразования Лежандра