Основные ограничения для гамильтоновых теорий поля

В настоящее время я пытаюсь выполнить построение обобщенного гамильтониана, ограничений и алгебры ограничений и т. Д. Для конкретной теории поля, следуя процедуре из «Лекций по квантовой механике» Дирака. Мой вопрос заключается в следующем:

У меня есть переменные импульса, которые зависят от пространственных производных обобщенных координат, но не от временных производных обобщенных координат. Это основное ограничение или нет?

У меня противоречивые мысли на этот счет. С одной стороны, есть тексты, в которых говорится, что первичное ограничение возникает, когда определение переменной импульса необратимо для соответствующей скорости. По этому критерию у меня есть первичное ограничение, потому что импульс не зависит от производной по времени от обобщенных координат.

С другой стороны, Дирак, например, говорит, что первичная связь есть функция вида

х ( п , д ) "=" 0

это следует из определения импульсов. Для меня это не так, поскольку у меня есть функция, которая также зависит от пространственных производных q. По этому критерию у меня нет основного ограничения.

Любая помощь высоко ценится.

Ответы (1)

При рассмотрении гамильтонового формализма важно различать следующие две структуры:

  1. Точечная механика (ТМ). Переменные 1 : д я ( т ) и п Дж ( т ) . Гамильтониан ЧАС зависит от следующих аргументов:

    (1) ЧАС ( д ( т ) ; п ( т ) ; т ) .

  2. Теория поля (FT) в д + 1 измерения пространства-времени. Переменные 1 : ф α ( Икс , т ) и π β ( Икс , т ) . Плотность гамильтониана ЧАС зависит от следующих аргументов:

    ЧАС ( ф ( Икс , т ) , ∂ ф ( Икс , т ) , ∂ 2 ф ( Икс , т ) , … , ∂ Н ф ( Икс , т ) ;
    (2) π ( Икс , т ) , ∂ π ( Икс , т ) , ∂ 2 π ( Икс , т ) , … , ∂ Н π ( Икс , т ) ; Икс , т ) .
    где ∂ обозначает пространственную (в отличие от временной) производную. Здесь Н конечно для локального ПФ, и Н ≤ 1 для релятивистского ФП.

премьер-министр д "=" 0 случай ФТ; в то время как FT можно рассматривать как PM, если мы рассматриваем пространственные координаты как непрерывный индекс я "=" ( α , Икс ) , ср. Сокращенная нотация ДеВитта .

FT всегда имеет бесконечно много степеней свободы (DOF), в то время как PM может иметь конечное или бесконечное количество степеней свободы.

В преобразовании Лежандра/процедуре Дирака-Бергмана для FT пространственные производные (в отличие от временных производных) не имеют особого статуса/роли. Эквивалентно, пространственные производные являются пассивными зрителями.

В FT определение первичных ограничений перенесено из случая PM без изменений. В частности, наличие пространственных производных не меняет статус уравнения как ограничения или нет.

--

1 Обратите внимание, что в случае ограничений переменные (помимо динамических переменных) также включают вспомогательные переменные.

Итак, используя ваши обозначения, в случае теории поля, если бы у меня был импульс, заданный выражением π "=" ∂ ф , будет ли это основным ограничением? Я склонен ответить нет, так как мне кажется это просто определяет переменную ∂ ф с точки зрения π , и не уменьшает количество независимых переменных в фазовом пространстве.
Более того, если мой пример действительно является первичным ограничением, то как его наложить? Первичные ограничения должны определять поверхность ограничений в фазовом пространстве, но π − ∂ ф "=" 0 не делает этого.
@Steven: Да, например, модель л "=" ф ˙ ∂ ф приводит к основному ограничению π "=" ∂ ф . Какой ФТ вы смотрите? Что такое лагранжева плотность л ?
Теорию, с которой я на самом деле имею дело, можно найти в разделе 2 следующей статьи: arxiv.org/abs/1309.1660 . Я работаю с четырехмерной версией этой теории (для размерностей дело обстоит качественно иначе). ≤ 3). Это «чистая калибровочная» теория, эквивалентная общей теории относительности первого порядка. Импульс, сопряженный с ф и пространственная часть ю (спиновая связь) переменные включают пространственные производные от ф и ю , но не зависят от соответствующих скоростей.
Чтобы сэкономить вам время, импульс, сопряженный с ф а например, дается π а "=" 2 ( Д Дж ф ) б Ф к л с д ϵ а б с д ϵ Дж к л . Индексы я , Дж , к "=" 1 , 2 , 3 являются индексами «пространства-времени», которые ограничены для запуска по космической части. Д является ковариантной производной для калибровочной группы, которая я С О ( 4 ) , F – тензор напряженности поля, индексы а , б , с , д . . . "=" 1 , 2 , 3 , 4 находятся в конкретном представлении четырехмерной евклидовой группы я С О ( 4 ) .
Чем больше я думаю об этом, тем больше я думаю, что импульсы этой формы не приводят к первичным ограничениям. Например, при проведении анализа ограничений с использованием подхода Фаддеева-Джеккива ( pdf ) эти ограничения не являются первичными. И если вы пытаетесь относиться к ним так, как если бы они были, насколько я понимаю, это приводит к несоответствиям. Наконец, по определению Дирака в «лекциях по квантовой механике», они не являются ограничениями, поскольку не являются функциями вида х ( д , п ) "=" 0 .
Поэтому я думаю, что ответ следует изменить; определение первичного ограничения действительно переносится на случай теории поля без изменений до тех пор, пока это определение принимается как «функция вида х ( д , п ) "=" 0 вытекающее из определения импульсов». В частности, функция вида х ( д , п , ∂ д ) "=" 0 является н о т ограничение.
@Steven: Пожалуйста, также укажите явно плотность действия/лагранжиана, чтобы убедиться, что мы говорим об одной и той же модели. Я предполагаю, что это модель (3 + 1) D Pagels с я С О ( 4 ) калибровочная группа упакована внутри С О ( 5 ) с фиксированным предпочтительным направлением колеи?
4D действие ∫ ( Д ф ) А ∧ ( Д ф ) Б ∧ Ф С Д ϵ А Б С Д Е ф Е . Калибровочную группу можно принять за С О ( 5 ) или я С О ( 4 ) (форма действия та же). Разница в том, что космологическая постоянная 0 для я С О ( 4 ) и ненулевое для С О ( 5 ) .
Исправление к ответу (v3): Последний Н в уравнении (2) должно быть Н − 1 .
Что, если у нас есть функция х ( п , д я ) "=" 0 одного импульса п и координаты д я которые не сопряжены с п , что следует из определения импульса п . Изменяет ли это статус функции как основного ограничения?
Основные ограничения для гамильтоновых теорий поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v