Почему ppp и qqq являются независимыми переменными в гамильтоновом формализме?

Question

Почему ppp и qqq являются независимыми переменными в гамильтоновом формализме?

ТэНиФан

скажем, у нас есть $(q, \dot{q})$ как обобщенная координата и обобщенная скорость. Если у нас есть лагранжиан, заданный

л "=" А д \dot{д} + Б д

$L=Aq\dot{q}+Bq$ где

A

$A$ и

B

$B$ являются константами, которые задают правильные единицы лагранжиану, то канонический импульс

p

$p$ мы используем для выполнения преобразования Лежандра, чтобы получить гамильтониан

п "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} "=" А д .

$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=Aq.$ Но потом

p

$p$ и

q

$q$ не являются независимыми переменными, поскольку

\frac{\partial п}{\partial д} "=" \frac{\partial}{\partial д} А д "=" А \neq 0.

$\frac{\partial p}{\partial q}=\frac{\partial}{\partial q} Aq=A\neq0.$

Что я здесь делаю неправильно?

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Это сингулярный лагранжиан. См. ответ Qmechanic на этот вопрос: physics.stackexchange.com/q/47847.

Ответы (1)

Почему ppp и qqq являются независимыми переменными в гамильтоновом формализме?

Это сингулярный лагранжиан. См. ответ Qmechanic на этот вопрос: physics.stackexchange.com/q/47847.

Qмеханик · Answer 1

Лагранжиан OP
$\begin{matrix} (1) & л (д, в, т) "=" А д в + Б д \end{matrix}$ $L(q,v,t)~=~Aqv+Bq\tag{1}$ имеет уравнение ЭЛ $\begin{matrix} (2) & Б \approx 0, \end{matrix}$ $B~\approx~ 0,\tag{2}$ поэтому теория имеет классические решения только в том случае, если $B=0$ . В последнем случае лагранжиан является полной производной, поэтому уравнение Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) тривиально выполняется. В любом случае лагранжиан ОП приводит к довольно сингулярной теории.
Что касается соответствующей гамильтоновой формулировки, лагранжиан OP является примером, когда преобразование Лежандра является сингулярным, т. Е. Мы не можем обратить соотношение
$\begin{matrix} (3) & п "=" \frac{\partial л}{\partial в} "=" А д \end{matrix}$ $p~=~\frac{\partial L}{\partial v}~=~Aq\tag{3}$ найти $v$ как функция $p$ . Вместо экв. (3) является первичным ограничением , т.е. $q$ и $p$ действительно не являются независимыми переменными, и нужно было бы выполнить анализ Дирака-Бергмана. Вторичным ограничением является экв. (2). Гамильтониан становится $\begin{matrix} (4) & ЧАС "=" λ (п - А д), \end{matrix}$ $H~=~\lambda(p-Aq),\tag{4}$ где $\lambda$ является множителем Лагранжа.
Об обычных лагранжианах см., например, этот пост на Phys.SE.

Почему ppp и qqq являются независимыми переменными в гамильтоновом формализме?

ТэНиФан

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Ответы (1)

Qмеханик

Обобщенные координаты в трехмерном вращении

Голономные ограничения и степени свободы

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Различные результаты для гамильтониана диска, катящегося по наклонной плоскости

Как найти гамильтониан из этого простого лагранжиана? (сложный)

Почему мы можем предполагать независимые переменные при использовании множителей Лагранжа в неголономных системах?

Каково мое состояние в контексте гамильтоновой механики?

Почему гамильтонова механика четко определена?

Вычислить преобразование Лежандра для сингулярного лагранжиана

Преобразование Лежандра лагранжиана с ограничениями