Когда мы обсуждаем квантовую теорию поля, определенную на многообразиях с краем, мы всегда выбираем граничное условие для полей. И аргумент обычно говорит о том, что нам нужно, чтобы граничное условие имело четко определенную вариационную задачу .
Однако на самом деле нам нужно четко определенное гильбертово пространство . Как мы можем увидеть связь между этими двумя, казалось бы, разными вещами?
Приведенный выше вопрос имеет смысл для квантовых теорий поля, определяемых через классическое действие. Если мы рассматриваем более общие квантовые теории поля, не обращаясь к действию, то зачем нам нужны граничные условия, чтобы теория была четко определенной?
Что ж, если вы хотите думать о КТП в ее самой общей формулировке, я бы сказал, что дело не столько в том, что вы должны выбрать граничные условия, сколько в том, что вы можете это сделать .
Позволять — гильбертово пространство, связанное с краевым условием . Если вы не хотите накладывать граничные условия, вы можете вместо этого объявить, что ваше гильбертово пространство
Итак, технически вам не нужно указывать граничное условие. Вы могли бы уйти произвольно, просто допуская любые граничные условия.
Но интересным аспектом является то, что вы можете выбрать граничное условие. Вместо того, чтобы работать с абсурдно большим гильбертовым пространством , вы можете постоянно выбирать меньшее пространство . Это не то, что вы можете сделать в общем случае: если вы начинаете с некоторого гильбертова пространства, вы обычно не можете выбрать меньшее пространство и получить непротиворечивую теорию. Подпространство теории само по себе обычно не дает хорошей теории: вы можете потерять унитарность/локальность/причинность, подпространство может не сохранять все необходимые вам симметрии (например, Пуанкаре) и т. д. Утверждение состоит в том, что для границы условия, пространство дает вам хорошую теорию сам по себе.
В этом смысле вы можете думать о граничных условиях как о «неприводимых компонентах» КТП, подобно тому, как неприводимые представления делают общие представления. Повторения не обязательно должны быть неприводимыми, но с ними полезно работать, потому что любое другое число может быть записано как их сумма. А иррепы не подлежат дальнейшему подразделению, поэтому они минимальны. Точно так же вы можете оставить bc неуказанным, но полезно работать с конкретными bc, потому что КТП без bc можно рассматривать как набор КТП с bc.
Анна В
Анна В