Всегда ли тензор энергии-импульса Гильберта совпадает с тензором энергии-импульса Белинфанте?

Канонический тензор энергии-импульса (SE) возникает из теоремы Нётер за счет использования сохраняющихся токов, связанных с трансляционными симметриями.

Это определяется как

Т а б знак равно ∂ л ∂ ( ∂ а ф ) ∂ б ф + л η а б

Однако в общем случае канонический SE-тензор не является симметричным. На самом деле для SE-тензора Т а б , Т а б + ∂ с х с а б также является SE-тензором для любого х с а б знак равно − х а с б .

Таким образом, учитывая канонический тензор SE, мы всегда можем построить симметричный тензор SE, называемый SE-тензором Белинфанте .

Есть еще один способ определить тензор SE в КТП в искривленном пространстве-времени. Это тензор Гильберта SE, который определяется как

Т а б знак равно − 2 − грамм дельта ( л − грамм ) дельта грамм а б

Таким образом, SE-тензор Гильберта также является симметричным тензором.

Мои вопросы

  1. Всегда ли тензор Гильберта SE совпадает с тензором Belinfante SE? Если да, то как доказать.

  2. Если ответ на вопрос (1) положительный, является ли SE-тензор Гильберта или SE-тензор Белинфанте уникальным симметричным SE-тензором, который вы можете построить?

Ответы (4)

  1. Ну, во-первых, мы должны предположить лоренцеву ковариантность и общую ковариантность теории. Для нерелятивистских теорий все ставки сняты. Во-вторых, в случае фермионов необходимо обобщить тензор Гильберта SEM от вариации относительно. метрика к вариации wrt. a vielbein, см., например, мой ответ Phys.SE здесь . Тогда обобщенный тензор Гильберта SEM представляет собой канонический SEM плюс член улучшения Белинфанте-Розенфельда. Доказательство набросано в моем ответе Phys.SE здесь и содержит ссылки в нем.

  2. Нет, симметричный тензор SEM не уникален. В принципе возможно добавить условия улучшения, которые уважают симметрию и законы сохранения.

Да, если мы работаем с соединениями без кручения. Это объясняется в оригинальных статьях Белинфанте и Розенфельда, которые цитируются на странице Википедии .

Вы можете увидеть необходимость отсутствия кручения, используя формулировку Вирбейна. Простое изменение только одного фирбейна обычно дает асимметричный тензор Нётер. Если вы определяете спиновый ток вариацией спиновой связи, а спиновую связь связываете с метрикой условием отсутствия кручения, то вариация спиновой связи порождает именно дополнительные члены Белинфанте-Розенфельда.

Тензор Белифанте симметричен только для решений уравнений движения. Т.е. он симметричен только on-shell. Но тензор энергии напряжений Гильберта по определению симметричен вне оболочки. Поэтому два тензора, когда они равны, равны только для решений уравнения движения. При рассмотрении преобразования, скажем, электромагнитного поля при переводе, если вы используете Ф мю ν ′ ( Икс ′ ) знак равно Ф мю ν ( Икс ) а затем сделать параметр перевода пространственно-временным зависимым Икс ′ знак равно Икс + ϵ ( Икс ) , вы можете получить канонический тензор энергии напряжения, который можно улучшить до тензора Белифанте, симметричного на оболочке. Но для начала, если взять Икс ′ знак равно Икс + ϵ ( Икс ) , и возьмите преобразование напряженности поля как преобразование тензора второго ранга при общем преобразовании координат (т.е. заданное его производной Ли), тогда вы можете получить тензор энергии напряжения Гильберта. Используя уравнение движения, можно показать, что одно равно другому, т.е. они равны только на оболочке.

Я не думаю, что уравнение движения должно удовлетворяться для симметрии. Симметрия следует из лоренц-инвариантности. Итак, пока функционал действия лоренц-инвариантен, все в порядке. Уравнение движения (или что-то эквивалентное, например, интегрирование по полям) требуется, конечно, для сохранения — в этом вся суть теоремы Нётер.
Я предлагаю вам взглянуть на уравнение 2.180 в большой желтой книге (Конформная теория поля, Ди Франческо и др.). Авторы четко отмечают, что улучшенный тензор энергии-импульса Белифанте является классически симметричным, то есть симметричным с точностью до уравнений движения. Они показывают это, взяв его разность с тождественно симметричным тензором, т. е. с тензором напряжений Гильберта.
@BoundaryGravitation Интересный пример, который мне придется изучить. Но когда я прочитал оригинальную статью Белинфанте, я увидел, что он определяет свой тензор как тензор Гильберта, а затем выясняет его связь с каноническим, чтобы получить определение, используемое в большинстве современных книг. Этот вывод набросан в статье в Википедии, но менее очевидно, что его канонический тензор является обычным каноническим тензором, поскольку он определил его с помощью дифференциала по вирбайну, а не методом Нётер, а затем поправка исходит из производной по спиновой связи.
Мне нужно посмотреть на статью, но в статье в Википедии снова, кажется, есть много предложений в примере с полем Дирака, где они используют уравнения движения. Поправьте меня, если я ошибаюсь. Я посмотрю на детали.
Да, я согласен, что E of M используются в примере Дирака, но я думаю, что это биты, которые следуют из лоренц-инвариантности, а не полного E of M. Мне нужно подумать об этом. Кстати, я написал (большую часть) статьи Белинфант-Розенфельд в Вики, поэтому вряд ли могу ссылаться на нее как на подтверждение моих взглядов! Хотя оригинальные статьи читать интересно.

Определен канонический тензор энергии-импульса (в метрических обозначениях η знак равно г я а грамм ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) )

Т (кано) а б знак равно − ∂ л ∂ ( ∂ а ф я ) ∂ б ф я + л грамм а б знак равно − ∂ л ∂ ( ∂ а ф я ) грамм б с ∂ с ф я + л грамм а б

Предположим, что локально мы можем найти скалярное поле такое, что

− ∂ а ф я знак равно е а я ,
куда я , Дж , . . . — внутренние индексы фреймов. Тогда мы имеем ковариантный тензор энергии-импульса
Т а б знак равно − 2 − грамм дельта С м дельта грамм а б знак равно − 1 е дельта С м дельта е я б е а я , знак равно − 1 е { ∂ л м ∂ е я б е а я е + л ∂ е ∂ е я б е а я } , знак равно − ∂ л ∂ е я б е а я + л е а я ∂ е Дж с ∂ е я б е Дж с , знак равно − ∂ л ∂ е я б е а я + грамм а б л , знак равно − ∂ л ∂ ( ∂ б ф я ) ∂ а ( ф я ) + грамм а б л , ≡ Т а б (кано)
Поэтому я думаю, что мы всегда можем связать тензор энергии-импульса Гильберта с тензором энергии-импульса Белинфанте-Розенфельда, если локально мы можем найти скалярную функцию ф такой, что − ∂ а ф я знак равно е а я . По крайней мере, в случае ОТО, но я не уверен в случае модифицированной гравитации, такой как в случае метрически-аффинной гравитации.

Заметим также, что: в ОТО группа симметрии — это диффеоморфизмы, которые не вписываются в первую теорему Нётер, но приведенный выше вывод мы сдвигаем во внутреннее пространство с группой симметрии С О ( 3 , 1 ) которая является конечномерной группой, где применима первая теорема Нётер.

Обратите внимание, что: С м знак равно ∫ г 4 Икс − грамм л м

Придирка к ответу (v5): второе условие не кажется в общем случае действительным.
Это то, о чем я также беспокоюсь. Второе условие.
Всегда ли тензор энергии-импульса Гильберта совпадает с тензором энергии-импульса Белинфанте?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v