Почему четырехвекторы не используются в определении квантового поля Клейна-Гордона?

Как я упоминал в комментариях, P&S работают по схеме Шредингера, что означает, что поля оператора не зависят от времени. Конечно, в картине Гейзенберга решение уравнения Клейна-Гордона зависит от времени (и тогда оно будет иметь четырехвекторы). Чтобы убедиться в этом, запишем уравнение Клейна-Гордона:

$$\begin{equation} \left(\partial^2 + m^2 \right) \phi(x)=0 \end{equation}$$ где $g=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$. Тогда решения в картине Гейзенберга могут быть записаны как: $$\begin{equation} \phi(x) = e^{\pm i p_\mu x^\mu} \end{equation}$$ что легко проверить: $$\begin{equation} \begin{aligned} \partial^2 \phi & = \partial_\mu \partial^\mu \left(e^{\pm i p_\nu x^\nu}\right) \\& = \partial_\mu \left(\pm i p^\mu\right) \left(e^{\pm i p_\nu x^\nu}\right) \\& = \left(\pm i p^\mu\right) \left(\pm i p_\mu\right) e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = - p_\mu p^\mu e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = -(E^2 - \mathbf{p}^2) e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = -m^2 e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = -m^2 \phi \end{aligned} \end{equation}$$ и так: $$\begin{equation} \left(\partial^2 +m^2\right)\phi = \left(-m^2 +m^2\right)\phi = 0 \end{equation}$$ Обычно решение записывается в терминах решений с положительной частотой и решений с отрицательной частотой: $$\begin{equation} \phi(x)=\phi_+(x) + \phi_-(x) = a e^{- i p_\nu x^\nu} + b e^{+ i p_\nu x^\nu} \tag{1} \end{equation}$$ Конечно, нам также нужно просуммировать по всем значениям энергии-импульса. $p_\mu$(потому что уравнение $(1)$является решением для любого значения $p_\mu$). Отсюда общее решение: $$\begin{equation} \phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i E_{\mathbf{p}} t + i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + b(\mathbf{p}) e^{i E_{\mathbf{p}} t - i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right] \end{equation}$$ где $N$является нормировочной константой.

Чтобы увидеть, как переключаться между картиной Дирака и картиной Шредингера, я отсылаю вас к разделу$2.4$P&S.

Изменить. Я не мог помочь себе и быстро добавлю это:

P&S обсуждают реальное поле Клейна-Гордона, что означает:

$$\phi = \phi^*$$ и так: $$\begin{equation} \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i p^\mu x_\mu} + b(\mathbf{p}) e^{ip^\mu x_\mu}\right] = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N^*} \; \left[ a^*(\mathbf{p}) e^{ ip^\mu x_\mu} + b^*(\mathbf{p}) e^{-i p^\mu x_\mu}\right] \end{equation}$$ что подразумевает: $$\begin{equation} \begin{array}{cc} a(\mathbf{p}) = b^*(\mathbf{p}) \; ,& b(\mathbf{p}) = a^*(\mathbf{p}) \end{array} \end{equation}$$ и $N$должен быть настоящим. Таким образом, реальное поле может быть записано как: $$\begin{equation} \phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i E_{\mathbf{p}} t + i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + a^*(\mathbf{p}) e^{i E_{\mathbf{p}} t - i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right] \end{equation}$$

После комментариев и ответа Хантера я думаю, что разница между этими двумя вещами заключается в том, что в картине Шредингера$\psi (\vec x)$удовлетворяет уравнению

$$\bigg (\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + m^2 \bigg)\psi (x) = 0$$ где $\omega_p = \sqrt{|\vec p|^2 + m^2}$.

$$\hat\psi(\vec x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \Bigl[a(\vec p) e^{i\vec k. \vec x} + a^\dagger(\vec p) e^{-i\vec k. \vec x} \Bigr]$$

Однако в случае картины Гейзенберга операторы лестницы Шредингера преобразуются как (см. P&S, раздел 2.4)

$$a_h(\vec p) = e^{iHt}a(\vec p)e^{-iHt} = a(\vec p)e^{-iE_pt}$$ $$a^\dagger_h(\vec p) = e^{iHt}a^\dagger(\vec p)e^{-iHt} = a(\vec p)e^{iE_pt}$$

Теперь подставив это в выражение для получения гейзенберговского представления поля,

$$\hat\psi_h(\vec x ,t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \Bigl[a(\vec p) e^{ip_\mu x^\mu} + a^\dagger(\vec p) e^{-ip_\mu x^\mu} \Bigr]$$ где $p^0 = E(\vec p)$

Теперь этот оператор удовлетворяет уравнению

$$i\frac{\partial}{\partial t} \hat\psi_h = [\hat\psi_h,\hat H]$$