Задача Ландау - скобки Пуассона сферической функции симметрии и угловой момент по оси z

В Механике Ландау есть проблема:

Проблема

Думаю, если функция обладает свойством сферической симметрии, или: ф ( р , п ) "=" ф ( − р , − п )

Форма, предложенная Ландау, следует этому свойству, но я не могу утверждать, что все функции, обладающие этим свойством, зависят только от р 2 , п 2 и р ⋅ п . Есть ли формальное доказательство этого (что любая функция сферической симметрии должнабыть комбинацией(Редактировать: не обязательно сочетание) зависит только от р 2 , п 2 и р ⋅ п ) ?

Обновление 1:

Я понял, что функция сферической симметрии должна зависеть только от какой-то скалярной переменной, иначе функция зависела бы от направления переменной и, следовательно, не была бы сферической симметрией. Но не р ⋅ п как-то зависит от взаимного направления обоих векторов?

Обновление 2:

Небольшая визуализация идеи pppqqq. Я разбиваю преобразование на четыре одноосевых поворота, так как их гораздо проще понять и легко записать их матричное представление (см. Википедия — Матрица вращения ). Четыре вращения явно являются ортогональными преобразованиями, и поэтому их композиция ортогональна. Здесь также поясняется, что термин р ⋅ п возникают из-за этого р не всегда перпендикулярно п .

  • Шаг 1 (игнорировать импульс п первый):

шаг 1

  • Шаг 2:

шаг 2

  • Шаг 3 (Сейчас моментум. Везде, где п ложь, мы можем сделать то же самое, что и на шаге 1.):

шаг 3

  • Окончательно:

окончательно

Здесь есть несколько неясных вопросов. Гораздо лучше задать один конкретный вопрос. Сделайте несколько сообщений для нескольких вопросов.
Спасибо за предложение. Я сократил его до одного вопроса. @DanielSank

Ответы (1)

Фраза «функция сферически симметрична» означает, что если г является ортогональным преобразованием (переводящим сферы в себя), то

ф ( г р , г п , т ) "=" ф ( р , п , т ) .
Если вы знаете р 2 , п 2 , р ⋅ п ты можешь рассчитать ф выполнив ортогональное преобразование, которое отображает р в г ось и п в Икс − г плоскости, поэтому ясно, что такая функция зависит от р и п только через эти комбинации.

Явно:

ф ( Икс , у , г , п Икс , п у , п г ) "=" ф ( 0 , 0 , р , п грех ⁡ θ , 0 , п потому что ⁡ θ ) ,
где
потому что ⁡ θ "=" п ⋅ р п р .

Ваши рассуждения весьма круты. Могу ли я спросить, всегда ли возможно найти ортогональное преобразование, отображающее r на ось z и p на плоскость x−z. Есть пример такого рода?
Я думаю, вы ищете явную форму вращения. Извините, но у меня сейчас нет времени писать официальное доказательство. Однако идея очень проста: WLOG взять р как г ось. Если θ это долгота п в сферических координатах следующим шагом является простое вращение вокруг г ось угла − θ .
Большое спасибо. Я также обновил свою визуализацию вашей мысли.
Пожалуйста. Что касается вашего обновления № 1, конечно р ⋅ п зависит от относительного направления р и п ; если хотите, он определяет направление р в отношении п . Может быть, «сферическая симметрия» — не очень хороший способ сказать, что функция инвариантна относительно поворотов оси координат (в моем переводе она заменена словом «скалярная», если я хорошо помню).
Задача Ландау - скобки Пуассона сферической функции симметрии и угловой момент по оси z
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v