Как узнать, является ли преобразование каноническим преобразованием?

Есть три простых теста, чтобы проверить, является ли преобразование каноническим. Обратите внимание, что некоторые мультипликативные константы могут появляться в определенных учебниках, в зависимости от точного определения канонического преобразования.

Обозначение

Позволять$x = (p, q)$быть$2n$переменные, а преобразованные переменные$\tilde{x}(x) = (\tilde{p}(p, q), \tilde{q}(p, q))$.

Метод симплектического якобиана

Позволять$J = \partial \tilde{x} /\partial x$— матрица Якоби преобразования. Более того, пусть$\mathbb{E}$быть$2n \times 2n$блочная матрица

$$\mathbb{E} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Тогда преобразование канонично тогда и только тогда, когда

$$J\mathbb{E}J^T = \mathbb{E}$$

Метод скобок Пуассона

Преобразование канонично тогда и только тогда, когда сохраняются фундаментальные скобки Пуассона.

$$\{\tilde{p}_i, \tilde{p}_j\} = 0 \qquad \{\tilde{q}_i, \tilde{q}_j\} = 0 \qquad \{\tilde{q}_i, \tilde{p}_j\} = \delta_{ij}$$

Метод дифференциальной формы Лиувилля

Это несколько менее практично, но я включил его для полноты картины. Преобразование канонично тогда и только тогда, когда дифференциальная форма$\sum_i p_i \mathrm{d}q_i - \sum_i \tilde{p}_i \mathrm{d}\tilde{q}_i$закрыто.

Подсказка: скобки Пуассона являются каноническими инвариантами, это

$$\{F,G\}_{q,p}=\{F,G\}_{Q,P}$$

Другой способ (практичный способ) — попытаться найти производящую функцию. В этом случае мы будем использовать$F_3(Q, p)$поскольку$Q$и$p$кажутся более основной переменной. Исходные уравнения эквивалентны

$$\begin{align} P &= q \, \cot p \tag{1} \\ q &= e^{-Q} \, \sin p. \tag{2} \end{align}$$ уравнение (1) эквивалентно $$\begin{align} P = e^{-Q} \, \cos p. \tag{3} \end{align}$$

Теперь из уравнений. (2) и (3), легко убедиться, что$F_3(Q, p) = e^{-Q} \cos p$удовлетворяет

$$\begin{align} P = - \frac{ \partial F_3 }{ \partial Q }, \tag{4} \\ q = - \frac{ \partial F_3 }{ \partial p }. \tag{5} \end{align}$$ Это средство для данного преобразования генерируется этим $F_3(Q, p)$, а значит, канонична.

Обратите внимание, что возможная функциональная форма$F_3(Q, p)$можно вывести методом проб и ошибок. В этом случае мы фактически интегрировали уравнение. (4),

$$F_3 = -\int P \, dQ = -\int e^{-Q} \cos p \, dQ = e^{-Q} \cos p,$$ а затем проверил, что удовлетворяет уравнению. (5).

Ответ Enucatl достаточно удовлетворительный. Однако в примере

$$P=q \cot(p),$$ $$Q=\ln \left (\frac{\sin(p)}{q}\right),$$ учитывая в вопросе, кажется, есть несоответствие размеров.

Аргумент внутри$\cot$должно быть какое-то$[p/(p_o)]$куда$p_o$имеет размерность импульса и аргумент логарифма должен быть

$$q_o \frac{\sin(p/p'_o)}{q},$$ $p'_o$не обязательно должен быть равен $p_o$. Даже если P и Q не имеют размерностей импульса и длины соответственно, это может не иметь значения (хорошо известное из любого общего случая канонического преобразования).

Мне любопытно узнать, подразумевают ли операции сопоставления измерений (подобно модному (который мне не нравится) способу, которым некоторые книги берут$c=1$и называя релятивистскую энергию свободной частицы$E =(m^2+p^2)^{1/2}$вместо того$E = (m^2 c^4+p^2c^2)^{1/2}$так далее.).