Когда скобки Пуассона функций фазового пространства наследуют структуру алгебры Ли симметрии?

Основная идея заключается в следующем. Для простоты в дальнейшем я предполагаю, что всякая функция не зависит явно от времени (приложив небольшие усилия, все можно было бы обобщить, имея дело с подходящим расслоением над осью времени, слоями которого являются пространства фаз во времени).$t$). На симплектике$2n$многомерное многообразие (пространство фаз),$(M, \omega)$, куда$\omega$является симплектической 2-формой, вы сначала определяете гамильтоново векторное поле$X_f$связанная с гладкой функцией$f: M \to \mathbb R$как уникальное векторное поле такое, что:

$$\omega(X_f, \cdot) = df\:.\tag{1}$$ Определение корректно, потому что$\omega$невырождена по предположениям.$\omega$также антисимметрично и замкнуто гипотезами, поэтому из-за теоремы Дарбу о подходящем атласе, который всегда существует$\omega = \sum_{i=1}^n dq^i \wedge dp_i$. На этой картинке вы восстанавливаете стандарт$q-p$формулировка гамильтоновой механики.

Далее у вас есть скобка Пуассона двух гладких функций, определенных как

$$\{f, g\}:= \omega(X_f,X_g)\:.\tag{2}$$

(В общем случае локальная) однопараметрическая группа диффеоморфизмов, порожденная$X_f$оказывается составленным из канонических преобразований в стандартном смысле гамильтоновой механики.$f$называется генератором Гамильтона этого преобразования. Используя атлас Дарбу, т.е. координаты,$q^1,\ldots, q^n, p_1,\ldots, p_n$, и уравнения Гамильтона, и скобки Пуассона принимают стандартную форму, более знакомую физикам.

Если$H$является предпочтительной функцией$f$называется функцией Гамильтона , интегральные линии$X_H$не что иное, как решение уравнений Гамильтона.

При этих определениях получается, что если$[\:.,\:.]$стандартный коммутатор векторных полей,

$$[X_f,X_g] = X_{\{f,g\}}\:.\tag{3}$$

Как непосредственное следствие (3), вы видите, что если$\{f,H\}=0$, то интегральные линии$X_H$остаются неотъемлемыми линиями$X_H$также под действием группы, порожденной$X_f$. В этом случае у вас есть динамическая симметрия. Кроме того, из (1) и (2)

$$X_H(f) = \{f,H\}$$ чтобы$\{f,H\}=0$также подразумевает, что$f$инвариантна относительно гамильтонова течения, т. е. является константой движения .

Дело в том, что$f$является константой движения и то, что она порождает (канонические) преобразования, сохраняющие эволюцию системы, являются эквивалентными фактами.

Эта фантастическая эквивалентность не выполняется в рамках лагранжевой формулировки механики.

В этом сценарии предположим, что$N$размерная группа Ли$G$свободно действует на$M$в терминах биективных диффеоморфизмов. Однопараметры группы определяют соответствующие однопараметрические группы диффеоморфизмов, образующие которых имеют ту же алгебру Ли, что и$G$. Так что если$e_1,\ldots, e_n$является основой$\mathbb g$(алгебра Ли$G$), с

$$[e_i,e_j] = \sum_{k=1}^N c^k_{ij}e_k$$ вы соответственно находите для ассоциированных векторных полей, определяющих th соответствующих однопараметрических групп диффеоморфизмов $$[X_i,X_j] = \sum_k c^k_{ij}X_k\:.$$

Предположим, в конце концов, что каждый$X_i$можно записать как$X_{f_i}$для соответствующей гладкой функции$f_i : M \to \mathbb R$. В этом случае однопараметрическая группа диффеоморфизмов, порожденная$X_f$является однопараметрической группой канонических преобразований . (Это происходит автоматически, когда действие$G$сохраняет симплектическую форму.) Следовательно,

$$X_{\{f_i,f_j\}} = [X_{f_i},X_{f_j}] = \sum_k c^k_{ij}X_{f_k}\:.$$ Используя тот факт, что тормоза Пуассона билинейны: $$X_{\{f_i,f_j\} - \sum_k c^k_{ij}f_k} =0$$ и таким образом, поскольку$f \mapsto X_f$является инъективным с точностью до аддитивной константы к$f$, $$\{f_i,f_j\} = q_{ij} +\sum_k c^k_{ij}f_k$$ константы$q_{ij}$вообще появляются, когда-нибудь (как бывает, если$G=SO(3)$) вы можете повторно впитать их в определение$f_i$которые, в свою очередь, определены с точностью до аддитивных констант. (Это когомологическая проблема, зависящая от$G$).

В этом ответе мы будем рассматривать алгебру Ли $L$(а не группа Ли ). Затем:

1. Если$M$многообразие , пусть существует гомоморфизм алгебр Ли

   $$L~~\stackrel{\rho}{\longrightarrow}~~ \Gamma(TM)\tag{1}$$ в алгебру Ли векторных полей на$M$. Карта$\rho$называется якорем .

2. Если коллектор$(M,\{\cdot,\cdot\}_{PB})$является многообразием Пуассона , естественно потребовать, чтобы векторные поля$X\in {\rm Im}(\rho)$сохранить пуассоновскую структуру

   $${\cal L}_X\{f,g\}_{PB}~=~ \{{\cal L}_Xf,g\}_{PB}+\{f,{\cal L}_Xg\}_{PB}.\tag{2}$$

3. Заметим, что алгебра Пуассона $(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}_{PB})$гладких функций на многообразии Пуассона является бесконечномерной алгеброй Ли.

4. Обратите внимание, что карта
   

   $$\begin{align} C^{\infty}(M)~\ni ~h~~\mapsto~ X_h~\equiv~&\{h,\cdot\}_{PB}\cr~\in~&\Gamma(TM) \end{align}\tag{3}$$ от гладких функций к гамильтоновым векторным полям является гомоморфизмом алгебр Ли $$(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}_{PB})~~\longrightarrow~~(\Gamma(TM),[\cdot,\cdot]_{LB}). \tag{4}$$ Гамильтоновы векторные поля автоматически сохраняют структуру Пуассона из точки 2.

5. Потребуем дополнительно, чтобы все векторные поля$X\in {\rm Im}(\rho)$являются гамильтоновыми векторными полями $X_h$.

6. Отметим, что выбор гамильтониана$h\in C^{\infty}(M)$для гамильтонова векторного поля$X$не уникален. [Для связного симплектического многообразия гамильтониан$h$уникален с точностью до константы.]

7. Предположим далее, что существует линейное отображение

   $$L ~\ni~\xi~~\stackrel{\tilde{\mu}}{\mapsto}~~h_{\xi}~\in~C^{\infty}(M)\tag{5}$$ что делает следующую диаграмму коммутативной $$\begin{array}{ccc} L & ~\stackrel{\tilde{\mu}}{\longrightarrow} & C^{\infty}(M) \cr &\rho \searrow~ & \downarrow X \cr && \Gamma(TM), \end{array}\tag{6}$$ то есть $$\forall \xi~\in~L:~~ \rho(\xi)~=~X_{h_{\xi}}.\tag{7}$$

8. Можно показать, что карта

   $$\begin{align} \Lambda^2L ~\ni~\xi_1\wedge\xi_2~~\stackrel{P}{\mapsto}~&~ \{h_{\xi_1},h_{\xi_2}\}_{PB}~\cr \equiv~&X_{h_{\xi_1}}[h_{\xi_2}] \cr~\in~&C^{\infty}(M)\end{align}\tag{8}$$ тогда является 2-коциклом $$\begin{align}\sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}& P([\xi_1,\xi_2]\wedge\xi_3)\cr ~\stackrel{(8)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}X_{h_{[\xi_1,\xi_2]}}[h_{\xi_3}]\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}\rho([\xi_1,\xi_2])[h_{\xi_3}] \cr ~\stackrel{(1)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}[\rho(\xi_1),\rho(\xi_2)]_{LB}[h_{\xi_3}]\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}[X_{h_{\xi_1}},X_{h_{\xi_2}}]_{LB}[h_{\xi_3}]\cr ~\stackrel{(4)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}X_{\{h_{\xi_1},h_{\xi_2}\}_{PB}}[h_{\xi_3}]\cr ~\equiv~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}\{\{h_{\xi_1},h_{\xi_2}\}_{PB},h_{\xi_3}\}_{PB}\cr ~=~&0. \end{align} \tag{9}$$

9. Потребуем далее, чтобы карта$\tilde{\mu}: \xi\mapsto h_{\xi}$должен быть гомоморфизмом алгебры Ли

   $$(L,[\cdot,\cdot])~~ \stackrel{\tilde{\mu}}{\longrightarrow}~~(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}_{PB}). \tag{10}$$ Это эквивалентно тому, что 2-коцикл$P$должна быть 2-кограница $$P(\xi_1\wedge\xi_2)~=~h_{[\xi_1,\xi_2]}.\tag{11}$$ Этому может препятствовать двухкоцикловая обструкция/классическая аномалия.

10. В утвердительном случае карта$\tilde{\mu}$называется гамильтоновым действием. Двойная карта$\mu:M\to L^{\ast}$называется картой моментов .

Отличный вопрос!

Один из способов взглянуть на происходящее — использовать гамильтонову версию теоремы Нётер. Процедура Нётер генерирует сохраняющийся заряд$Q$связанный с симметрией с параметром$\theta$. Оказывается, что$Q$является генератором этой симметрии в том смысле, что для некоторой функции$A$переменных фазового пространства

$$\begin{equation} \{A,Q\} = \frac{\partial A}{\partial\theta} \end{equation}$$

На самом деле доказательство нетрудно (сделайте его для случая, когда импульс не изменяется при симметрии,$\delta_\theta p =0, \delta_\theta q \neq 0$). Вы просто берете определение нётеровского заряда, подключаете и пыхтите.

Теперь предположим, что у меня есть некоторая неабелева группа симметрии$G$с генераторами$T^a$. С каждым генератором связан сохраняющийся заряд$Q^a$. Как заряды действуют друг на друга? Это должно быть другое преобразование симметрии!

$$\begin{equation} \{Q^a,Q^b\} = \frac{\partial Q^a}{\partial \theta^b} = \frac{\partial Q^b}{\partial \theta^a} = f^{abc} Q^c \end{equation}$$ где $f^{abc}$– структурные константы группы (вплоть до вероятно отсутствующих множителей $i$или же $2$).

Связанное утверждение - Теорема Фробениуса. Идея состоит в том, что множество векторных полей интегрируемо, только если их алгебра замкнута. Преобразования симметрии системы должны оставлять систему внутри некоторого подмногообразия на фазовом пространстве, поэтому множество векторных полей, связанных с генераторами симметрии, должно быть интегрируемым. Таким образом, алгебра образующих должна замыкаться.