Каноническое преобразование уравнения Гамильтона

У меня проблема с пониманием критериев канонического преобразования. Я готовлюсь к экзамену и наткнулся на этот вопрос:

Для которого$A$,$B$,$C$,$D$является:$Q = A q^2+B p^2, \quad P = Cq^2+Dp^2$каноническое преобразование$(q,p) \to (Q,P)$?

Я знаю, что он должен содержать:$\{Q,P\} = 1$

Мой расчет приводит к$AD-BC = \frac{1}{4}pq$. Но теперь я думаю, достаточно ли этого. Интуитивно я думаю, что далее следует считать, что отображение$(q,p) \to (Q,P)$обратим, что не так из-за четырех решений$q = \pm 2\sqrt{DQ-BP}$и$p = \pm 2\sqrt{PA-QC}$.

В настоящее время я просматриваю свои конспекты лекций и книги. Тем не менее я не могу найти ничего относительно того, должно ли преобразование быть биективным, чтобы быть каноническим преобразованием.

Мой вопрос: какие предположения должны$(q,p) \to (Q,P)$выполнить, чтобы быть каноническим преобразованием.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я просто смотрел на свой расчет. Я сделал глупую ошибку. Расчет не дает:$AD-BC = \frac{1}{4}$должен быть

$$AD-BC = \frac{1}{4}pq$$ и поэтому это преобразование не может быть каноническим. Я исправил это выше. Однако эта ошибка заставила меня усомниться в допущениях для $(q,p) \to (Q,P)$чтобы быть каноничным. В конце концов я получил ответ в книге «Теоретическая физика», написанной В. Нолтингом. В основном это то же самое, что и в принятом ответе, Нолтинг также дает четкое доказательство критериев канонических преобразований. Так что, у кого есть такой же вопрос, как у меня, может найти ответ там.