Задержка и стабильность в системах с отрицательной обратной связью: путаница

Question

Задержка и стабильность в системах с отрицательной обратной связью: путаница

сартхак

Ниже приведена блок-схема, на которой показан операционный усилитель с отрицательной обратной связью с цепью обратной связи, состоящей из резистивного делителя:

Обведенный блок — это операционный усилитель с 1 и 2 в качестве его инвертирующего и неинвертирующего вывода соответственно. Я исхожу из идеальных условий.

Это всегда будет стабильной системой, если в пути обратной связи нет задержки. Если мы даем системе ступенчатый вход и если задержка системы мала, то не будет выброса выше входного ступенчатого напряжения, но по мере того, как мы продолжаем увеличивать задержку, система начнет перерегулирование, и при более высокой задержке она может стать нестабильный. Ниже приведены диаграммы, которые показывают систему с задержкой и ее реакцию на ступенчатый вход:

Для этой системы с идеальной задержкой я читал, что если задержка $T_d$ больше, чем $\dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{k}{\text{unity gain freq}}$ , частота единичного усиления равна $\omega_u$ на диаграмме выше, то система станет нестабильной, и ее выход начнет расходиться.

Для системы второго порядка блок-схема показана ниже, здесь элементом задержки является первый порядок, скажем, это некоторая RC-задержка:

Элемент задержки имеет один полюс на $p_2$ . Я читал, что эта система безусловно устойчива с задержкой $1/p_2$ . Из приведенного выше требования к задержке можно утверждать, что безусловная устойчивость означает задержку $T_d$ для этой системы всегда остается меньше указанного выше предела, который $\dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{k}{\text{unity gain freq}}$ .

Поскольку задержка порядка $R \cdot C$ элемента задержки и $R \cdot C$ значение может быть сделано сколь угодно большим, я думаю, что не всегда гарантируется, что задержка будет ограничена этим пределом, и, следовательно, система должна идти в сторону нестабильности всякий раз, когда задержка превышает этот предел.

Не мог бы кто-нибудь объяснить этот очевидный парадокс о том, почему система безоговорочно стабильна, даже когда задержка может быть больше, чем $\dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{k}{\text{unity gain freq}}$ .

Чу

Вы путаете "задержку" и "отставание"? 1/p2 — задержка, Td — задержка. Система 1-го или 2-го порядка, содержащая запаздывающие члены и интеграторы и не имеющая отрицательных или нулевых коэффициентов, не может быть нестабильной. Но задержка вводит фазовый угол

- ω T_{d}

$-\omega T_d$ с единичным усилением на всех частотах, поэтому это может привести к нестабильной замкнутой системе, если запас по фазе без обратной связи становится отрицательным.

сартхак

@ Чу .... Спасибо за этот полезный комментарий ... но не могли бы вы объяснить, что вы подразумеваете под отставанием. Поскольку задержка Td представляет собой сдвиг сигнала во временной области f(t) -> f(t-Td), т.е. А для случая RC-задержки порядка R*C.

сартхак

@ Чу .... Не могли бы вы доказать, что задержка RC-системы меньше или равна (pi / 2) * k / единичная частота усиления.

Ответы (2)

Задержка и стабильность в системах с отрицательной обратной связью: путаница

Вы путаете "задержку" и "отставание"? 1/p2 — задержка, Td — задержка. Система 1-го или 2-го порядка, содержащая запаздывающие члены и интеграторы и не имеющая отрицательных или нулевых коэффициентов, не может быть нестабильной. Но задержка вводит фазовый угол $-\omega T_d$ с единичным усилением на всех частотах, поэтому это может привести к нестабильной замкнутой системе, если запас по фазе без обратной связи становится отрицательным.
@ Чу .... Спасибо за этот полезный комментарий ... но не могли бы вы объяснить, что вы подразумеваете под отставанием. Поскольку задержка Td представляет собой сдвиг сигнала во временной области f(t) -> f(t-Td), т.е. А для случая RC-задержки порядка R*C.
@ Чу .... Не могли бы вы доказать, что задержка RC-системы меньше или равна (pi / 2) * k / единичная частота усиления.

Ур.В · Answer 1

Во втором примере (система 2-го порядка с обратной связью) фаза функции усиления контура будет приближаться к критическому значению -180 градусов только для бесконечных частот. Это означает: фазовый сдвиг никогда не достигнет -180 градусов на фиксированной частоте - и система будет стабильной.

В вашем первом примере (первый порядок с фиксированным блоком задержки) фаза усиления контура не будет ограничена каким-либо фиксированным значением. Вместо этого фаза будет возрастать вместе с частотой без каких-либо ограничений. Следовательно, если усиление контура больше (меньше) 0 дБ при общей фазе -180 градусов, замкнутая система будет нестабильной (устойчивой).

Спасибо, LvW... это правда.... но я имел в виду задержку петли во время переходного отклика, Td в моем вопросе выше. Как я упоминал в вопросе, при задержке больше, чем (pi/2)*(k/unity_gain_freq), система должна стать нестабильной. Поскольку задержка во втором примере имеет порядок 1/p2, выбрав p2 достаточно малым, я могу сделать задержку больше указанного выше предела. Не могли бы вы объяснить с точки зрения этой задержки, почему система все еще стабильна, даже после превышения максимального предела задержки.
На вопрос об устойчивости такой системы нужно отвечать с учетом критерия устойчивости в частотной области, поскольку ответ зависит от усиления и фазового сдвига внутри контура. Недостаточно смотреть только на фазовый сдвиг (или задержку) - в то же время вы также должны смотреть на усиление контура (и это снова частотная область).

Чу · Answer 2

\Рассмотрите разомкнутую систему с усилением, $\small K$ , интегратор $\frac{1}{s}$ , и задержка $\small e^{-sT}$ .

Фазовый угол (в радианах): $\small \phi=-\frac{\pi}{2}-\omega T$ , а выигрыш $\frac{K}{\omega}$ .

Для единичного усиления контура $\small K=\omega$ , значит, на этой частоте $\small \phi=-\frac{\pi}{2}-K T$ , а для фазового угла $-\pi$ , что дало бы условно устойчивую систему (т.е. колебательную):

$\small -\pi=-\frac{\pi}{2}-K T$ или $\small T=\frac{\pi}{2K}$ , и включая сеть резисторов обратной связи с коэффициентом усиления, $\frac{1}{k}$ , имеем условие: $\small T=\frac{k\pi}{2K}$

@ Чу ... Спасибо за доказательство ... Но у меня есть последний вопрос ... Почему «задержка» не вызывает нестабильности? Для ступенчатого входа, если существует огромная задержка между выходным напряжением и измеренным напряжением (напряжение, которое вычитается из входного на диаграмме обратной связи), контур будет увеличивать выходное напряжение за пределы входного шага, и будет быть огромным перерегулированием .... не должно ли это вести систему к нестабильности?
Вклад максимального фазового угла для запаздывания составляет -90 градусов; объединение этого с -90 градусов от интегратора дает максимальное отставание по фазе амплитуды -180 градусов. Таким образом, фаза графика Боде с разомкнутым контуром никогда не пересекает порог -180 и, следовательно, никогда не является нестабильной.
@ Чу .... Вы сказали, что есть разница между «задержкой» и «задержкой» ... По вашему мнению, -90 градусов - это задержка, если я вас правильно понял. Я говорю о задержке 1/p2. Это время, за которое система достигает стационарного состояния. Если эта задержка слишком велика, то измеренное напряжение будет низким, даже если выходной сигнал контура растет. Это должно привести к большому перерегулированию, когда выходной сигнал начинает расти вместе с шагом. Не должно ли это привести к нестабильности системы?

Задержка и стабильность в системах с отрицательной обратной связью: путаница

сартхак

Чу

сартхак

сартхак

Ответы (2)

Ур.В

сартхак

Ур.В

Чу

сартхак

Чу

сартхак

Задержка и стабильность в системах с отрицательной обратной связью: Путаница-2

Найти передаточную функцию и условия устойчивости

Выбор номиналов резисторов для инвертирующего усилителя и почему?

Влияние нулей на стабильность системы

Понимание внутриконтурной компенсации для операционных усилителей с емкостной нагрузкой

Что можно сделать по частоте колебаний операционного усилителя?

Нахождение номинала конденсатора обратной связи в фотодиодном усилителе

Что такое усиление шума на самом деле? И как он определяется в общем случае?

Как определить RoRoR_o для операционного усилителя?

Как рассчитать запас по фазе для усилителя с обратной связью