Закон Ампера для бесконечно длинного провода

Question

Закон Ампера для бесконечно длинного провода

Физика
исчисление
векторные поля
магнитостатика
электромагнетизм
граничные условия

Гаурав Кочар

Я читаю магнитостатику из учебника «Введение в электродинамику» Дэвида Дж. Гриффитса.

Таким образом, здесь закон Ампера в дифференциальной форме был выведен из закона Био-Сарвара, и было сделано предположение, что j стремится к 0 при стремлении к бесконечности, а интегральная форма была выведена из дифференциальной формы.

Но на следующей странице закон ампера в интегральной форме был использован для расчета магнитного поля длинного бесконечного провода (плотность тока которого не будет равна 0 на бесконечности)

Я сомневаюсь, что условие кругового закона Ампера слабее (нет требования нулевой плотности тока на бесконечности), или автор забыл обосновать использование закона Ампера в этом случае.

Я знаю, что закон Ампера - это закон, и его справедливость проверяется экспериментами, но мой вопрос основан на последовательности книги, и поэтому мне нужно математическое обоснование.

Ответы (2)

Закон Ампера для бесконечно длинного провода

Молодой Киндаичи · Answer 1

Если вы прочитаете приведенную сноску, в которой говорится

Если $\mathbf{J}$ простирается до бесконечности (как в случае бесконечного прямого провода), поверхностный интеграл по-прежнему обычно равен нулю, хотя анализ требует большей осторожности.

Хотя в магнитостатике в основном выполняется закон Ампера.

Вот небольшой метод взмаха руками, описанный Перселлом в его книге:

Рассмотрим круговой путь, который окружает провод,

Здесь окружность $2\pi r$ , а поле $\mu_0 I/2\pi r$ и везде параллельно пути, поэтому значение линейного интеграла вокруг этого конкретного пути равно $(2\pi r)(\mu_0 I/2\pi r)=\mu_0 I$ . Мы можем расширить это для любого цикла, исказив цикл.

Теперь мы утверждаем, что любой путь, проходящий один раз вокруг провода, должен давать одно и то же значение. Рассмотрим, например, кривую дорожку $C$ на рис. Давайте построим путь $C'$ на следующем рисунке сделан путь, как $C$ и круговой путь, но не охватывающий провод. Линейный интеграл вокруг $C'$ должен быть равен нулю и, следовательно, интеграл вокруг $C$ должен быть отрицательным значением интеграла по окружности, который мы уже оценили как $\mu_0 I$ по величине. Знак пути будет зависеть от смысла прохождения пути.

Наш общий вывод таков

\int Б \cdot г с "=" {мю}_{0} \times (ток, заключенный в путь)

$\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=\mu_0 \times (\text{current enclosed by path)}$

Отсюда легко перейти к дифференциальной форме, используя теорему Стокса.
Да, я прочитал сноску и да, я хотел, чтобы анализ был более тщательным (в общем, а не в этом конкретном случае).
Также в этом ответе есть 2 «мы знаем», но я не знаю ни одного из них.

Куильо · Answer 2

Закон Био-Савара в бесконечно малой форме гласит:

\vec{г Б} "=" а \frac{я \vec{г л} \times \vec{р}}{р^{3}}

$\vec{dB}= a \frac{I \vec{dl}\times \vec{r}}{r^3}$

где $a>0$ константа, которая зависит от используемой системы единиц измерения, $I$ это сила тока и $\vec{dl}$ представляет собой вектор, представляющий длину и направление тока небольшого участка провода, который можно считать прямым. Если вы немного знакомы с дельта-распределением Дирака, вы должны быть в состоянии показать, что закон БС есть не что иное, как

\nabla \times \vec{Б} "=" 4 π а \vec{Дж}

$\nabla \times \vec{B} = 4 \pi a \vec{J}$

см., например , https://en.m.wikipedia.org/wiki/Biot%E2%80%93Savart_law

Обратите внимание, что приведенное выше уравнение является локальным и фундаментальным (это стационарная версия одного из уравнений Максвелла), и никаких предположений о распределении токов не делалось. $\vec{J}$ (заметим, что уравнение неразрывности $\nabla \cdot \vec{J} =0$ должен удовлетворяться назначенным током, если вы хотите иметь возможность решить уравнение: просто возьмите расхождение как левой, так и правой частей). От случая к случаю можно прибегать к техническим допущениям, но в принципе предписание, данное законом БС, ясно: пока можно разделить провод на бесконечно малые прямые отрезки, вот он, локальный вклад в поле. Вам просто нужно сделать сумму по проводу (с интегралом). Единственное требование состоит в том, что ток должен сохраняться, поэтому у вас могут быть петли или провода, простирающиеся до бесконечности (если провод разделяется, то «ветви» должны вместе нести одинаковое количество тока).

На странице Википедии, указанной u, на последнем шаге b4 они использовали интегрирование по частям, а затем они должны предположить, что поверхностный интеграл, включающий Jr/r3, должен стать равным 0.
Вики предназначена только для того, чтобы показать вам, как работает Delta, если вы с ней не знакомы. Я говорю о том, что бесконечно малый закон БС — это просто уравнение Максвелла для «дельта-тока Дирака», немного измененное: все локально, поэтому не нужно прибегать к предположениям. Затем вы интегрируете и можете (в этот момент) спросить себя, правильно ли определен интеграл или нет. Некоторые интегралы, простирающиеся до пространственной бесконечности, хорошо определены.

Закон Ампера для бесконечно длинного провода

Гаурав Кочар

Ответы (2)

Молодой Киндаичи

Молодой Киндаичи

Гаурав Кочар

Гаурав Кочар

Молодой Киндаичи

Куильо

Гаурав Кочар

Куильо

Электромагнитное поле и непрерывные и дифференцируемые векторные поля

Граничные условия в магнитостатике - Расчет поверхностной плотности тока

Являются ли силовые линии на диаграмме стержневого магнита контурными линиями?

Может ли статическое неконсервативное векторное поле иметь скалярный потенциал?

Что значит быть уникальным с точки зрения векторных потенциалов?

Вывод закона Ампера в Джексоне

Существуют ли случаи, когда ∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0∇⋅∭J(x′)|x−x′|dV′≠0\nabla\cdot\iiint\frac{\ mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' \neq 0?

В чем важность того, что векторный потенциал не уникален?

Направление HH\textbf{H} и BB\textbf{B} внутри и снаружи стержневого магнита

Почему это векторное поле не имеет завитков?