Электромагнитное поле и непрерывные и дифференцируемые векторные поля

У нас также есть те же понятия деривации, завитка и т. д. для менее регулярных функций. Когда вы пишете уравнения Максвелла, вы пишете систему дифференциальных уравнений в частных производных.

Чтобы исследовать их, вы должны указать тип решения, которое вы ищете (на языке УЧП: классический, мягкий, слабый...) и функциональное пространство, в котором вы помещаете свою теорию. Естественное пространство для электрических и магнитных полей. является$L^2(\mathbb{R}^3)$, потому что это энергетическое пространство (где энергия$\int_{\mathbb{R}^3}(E(x)^2+B(x)^2)dx$определено). Также часто рассматриваются более регулярные подпространства, такие как пространства Соболева с положительным индексом, или более крупные пространства, такие как пространства Соболева с отрицательным индексом.

Эти пространства опираются на понятие почти везде, т.е. они могут вести себя плохо, но только в множестве точек с нулевой мерой. Также пространства Соболева обобщают, грубо говоря, понятие производной. Я предлагаю вам ознакомиться с вводным курсом по УЧП и функциональным пространствам. Стандартным справочником может быть книга Эванса , а также монументальное произведение Хёрмандера .

Комментарий к редактированию : это неправда , что

уравнения Максвелла в дифференциальной форме всегда будут давать хорошо работающее непрерывное и дифференцируемое решение векторного поля

Рассмотрим, например, статическое уравнение

$$\begin{equation*} \nabla\cdot E=\rho \; . \end{equation*}$$ Чтобы исследовать это уравнение, вы должны дать ему точное значение. Что $E$а также $\rho$? Предположим, как вы сказали, что $\rho$есть некоторая разрывная функция. Тогда довольно странно искать решения $E$которые гладкие и хорошо себя ведут! У нас есть математические объекты, которые могут вести себя еще хуже, чем разрывные функции, и называются распределениями . В частности, нас интересуют распределения, двойственные к функциям быстрого убывания, называемые $\mathscr{S}'(\mathbb{R}^3)$. Не вдаваясь в подробности, все функции в $L^p(\mathbb{R}^3)$, $1\leq p \leq \infty$дистрибутивы в $\mathscr{S}'$, а также дельта-функция Дирака и ее производные. И с математической точки зрения совершенно законно смотреть на приведенное выше уравнение дивергенции в смысле распределений : т. е. искать распределение $E\in(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^3))^3$такое, что его распределительная дивергенция $\nabla\cdot E \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^3)$равно $\rho\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^3)$. Предположим, что уравнение допускает решение, тогда это решение будет, вообще говоря, не регулярной функцией, а распределением . Это может быть, например, разрывная функция в $L^1$, или сумма производных дельта-функции.

В любом случае, как я уже писал, необходимо, чтобы вы лучше поняли концепцию Коши и краевых задач для УЧП в функциональных пространствах , а также концепцию классических, мягких и слабых решений , чтобы полностью понять механизм, лежащий в основе уравнений Максвелла, и математический смысл решения такой задачи.

Если я вас правильно понял, вы хотите, чтобы строгий математический формализм обрабатывал решения в частных производных, которые не дифференцируемы или не интегрируемы с квадратом и т. Д. То есть вы можете иметь эти точечные заряды с взорванными полями на них, поля не дифференцируемы на границах и так далее.

Существует строгий формализм для рассмотрения таких вещей. Это называется обобщенными функциями , или распределениями . Это отличный и математически правильный способ использования таких «функций», как дельта Дирака или ступенчатая функция Хэвисайда.

Чтобы дать вам представление об этих зверях, я в общих чертах объясню, как это происходит в 1D. Вообще говоря, обобщенная функция определяется как линейное преобразование$(f, c)$по функциям носителя$c$, причем эти несущие функции равны нулю везде, кроме некоторой конечной области, и имеют производные любого порядка. Примером обобщенной функции является интеграл,

$$(a, c) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x\,a(x) c(x),$$ куда $a(x)$является интегрируемой функцией. Более полезна обобщенная функция $$(\delta, c) = c(0)$$ — известная дельта-функция Дирака.

Производная обобщенной функции определяется как

$$(f', c) = (f, -c').$$ Легко понять мотивацию такого определения, поскольку $$\int_{-\infty}^{+\infty} dx\,\frac {df(x)}{dx} c(x) = f(x)c(x)\Big|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, f(x) \frac{dc(x)}{dx} = - \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, f(x) \frac{dc(x)}{dx}$$ из-за $c(x)$равен нулю для бесконечного $x$.

Используя определение производной и наш первый пример обобщенной функции, можно найти для интегрируемой с квадратом Heavyside$\theta(x) = \cases{0,& x < 0 \\ 1/2,& x = 0 \\ 1,& x > 0}$что

$$(\theta', c) = (\theta, -c') = -\int_0^\infty dx\, \frac{dc(x)}{dx} = c(0) = (\delta, x),$$ т.е., $\theta' = \delta$в смысле обобщенных функций.

То есть я показал, как можно ввести производную недифференцируемой функции ;) Формализм можно использовать для нахождения недифференцируемых решений УЧП, включая функции Грина.

Вы можете прочитать больше об этой технике, примененной к УЧП, включая электростатические задачи и волновые уравнения, в «Уравнениях математической физики» Владимирова , и вы можете прочитать хорошее введение в обобщенные функции Гельфанда и Шилова, «Обобщенные функции» . Обратите внимание, что эти книги находятся в свободном доступе на русском языке. Кроме того, я не сомневаюсь, что вы можете найти другие книги на эту тему, более доступные для вас.

PS: Конечно, граничные разрывы — это приближения, но они полезны, если вы не будете погружаться глубоко в микроскопию. Кроме того, техника, о которой я говорил, на самом деле не помогает с фундаментальными проблемами электродинамики, такими как вздутие потенциала точечного заряда — это КЭД то, что вам нужно, если вы находитесь слишком близко к электрону, и даже КЭД — не лучший вариант. окончательного ответа на проблему еще нет, и может быть, что окончательного ответа вообще нет. Но, опять же, пока вы рассчитываете макроскопические поля, обычно можно использовать классическую электродинамику.

Один из основных вопросов, который здесь возникает, — это понятие точечных и поверхностных структур в нашем трехмерном мире. Когда мы определяем электростатические поля распределением точечных зарядов, мы в какой-то мере нефизичны. Если мы продолжим приближать электрон, он перестанет выглядеть как точечный заряд. Рассмотрим член Дарвина в гамильтониане тонкой структуры. «Быстрые квантовые колебания, размывающие заряд» устраняют идею стационарного точечного заряда (хотя и для протона). Что более важно в электростатике, так это сказать: в какой области наше поле должно быть действительным? Ответ — только та область, в которой мы занимаемся физикой. В хорошем приближении электрон ведет себя как точечный заряд, пока вы не находитесь сверху. Наше точечное распределение заряда дает правильное поле и хорошее приближение почти до самой точки. Хотя это не должно быть проблемой. Сравним с примером из ОТО: при нормальном выводе метрики Шваршильда в ОТО нас интересует только область вне сферического тела. Если радиус Шваршильда тела лежит за пределами физической границы сферического тела, то наше решение начинает вести себя странно, и это здорово, но мы никогда не пытаемся проникнуть в само тело, используя эту метрику. Есть регион, который нас беспокоит, и мы придерживаемся его, и все в порядке. При обычном выводе метрики Шваршильда в ОТО нас интересует только область вне сферического тела. Если радиус Шваршильда тела лежит за пределами физической границы сферического тела, то наше решение начинает вести себя странно, и это здорово, но мы никогда не пытаемся проникнуть в само тело, используя эту метрику. Есть регион, который нас беспокоит, и мы придерживаемся его, и все в порядке. При обычном выводе метрики Шваршильда в ОТО нас интересует только область вне сферического тела. Если радиус Шваршильда тела лежит за пределами физической границы сферического тела, то наше решение начинает вести себя странно, и это здорово, но мы никогда не пытаемся проникнуть в само тело, используя эту метрику. Есть регион, который нас беспокоит, и мы придерживаемся его, и все в порядке.

Аналогичная проблема с поверхностными зарядами. Физически вы не можете ограничить заряд плоскостью. Вы можете довольно хорошо аппроксимировать плоскость, но случайное квантовое поведение накладывает ограничения. Мы должны понимать, что модель не является идеальным представлением мира. Но на том уровне, на котором мы обычно смотрим, нормальное Е-поле в значительной степени прерывисто по всей границе, и наша теория является пределом того, что оно прерывно. Это не значит, что это не полезно. Если мы начнем приближаться к этой границе, наша модель рухнет. Кроме того, сферический проводник не является однородным распределением вещества. Если бы это было так, то это был бы математический шар, и парадокс Банча-Тарского мог бы сказать об этом проводнике кое-что очень интересное. Если мы собираемся сказать, Если отбросить эту теорию, потому что поле определено не везде, я бы сказал, что мы должны были отбросить ее раньше из-за Банаха-Таркского. Если мы придерживаемся электродинамики Максвелла, нам нужно изучить ее саму, чтобы убедиться, что мы всегда непротиворечивы.

Вы упоминаете вывод электростатической энергии, приведенный в тексте Гриффитса в комментарии. Я думаю, вы говорите о расчете электрического потенциала и выборе точки отсчета. Если распределение заряда простирается до бесконечности, мы не можем использовать бесконечно удаленную точку в качестве нулевой точки отсчета при расчете потенциала, потому что потенциал взрывается на бесконечности. Это фундаментальная теория, которую мы используем. Это эквивалентно попытке использовать точечный заряд в качестве нуля. Мы должны использовать теорию как есть. Если я правильно помню, Гриффитс продолжает, что такие проблемы не возникают в реальном мире, потому что не существует бесконечных распределений, что немного успокаивает. Но вы должны спросить себя, действительно ли вы удивляетесь, когда происходят бесполезные вещи из-за того, что вы играете с математическими диковинками.

Вы спрашиваете об альтернативе, у которой нет этих проблем? Мы не используем электродинамику Максвелла для расчета электромагнитных сечений при столкновении электронов. Мы используем КЭД. В КЭД у электронов нет электрического поля, как у Максвелла. Электроны входят, что-то происходит, электроны выходят. Это что-то — обмен виртуальными фотонами: первый электрон возбуждает фоновое поле, а возбуждение — фотон — распространяется и затем взаимодействует с другим электроном. Есть много разных «путей», по которым это может произойти, и нам нужно суммировать их и т. Д. Давайте не будем увязнуть в квантовой теории поля, потому что вам не нужно быть экспертом, чтобы знать, что она усеяна бесконечностями.

Так должны ли мы использовать полный лагранжиан стандартной модели, чтобы делать все? Ну нет. Вероятно, стоит взглянуть на две основные причины, почему. Во-первых, это не теория всего, она не занимается гравитацией. Во-вторых, вычислительные требования к динамике трех кварков + глюонной плазмы (+ все остальное, что висит вокруг в результате образования пар) несколько огромны, не говоря уже о том, что происходит в моем стакане воды на уровне кварков. Если мы хотим сказать что-то полезное о моем стакане воды, мы посмотрим, какие предположения мы можем сделать, и найдем более простую теорию, с которой мы действительно сможем работать.

На самом деле то, на что вы наткнулись, это неприятная правда физики. Мы привыкли слышать это все время, но обычно мы не совсем понимаем, что это значит и насколько далеко оно простирается. Физика занимается моделированием Вселенной. Закон всемирного тяготения Ньютона является моделью. Он работает в пределе слабого поля, но GR "лучше". Мы принимаем, что это не 100%, но мы знаем, что это чертовски точно при определенных условиях, и с этим намного проще иметь дело. Здесь это очевидно. Но в том же смысле ОТО неверна, стандартная модель физики элементарных частиц неверна и т. д. Делаются некоторые фундаментальные допущения, и мы должны ограничиться задачами, в которых эти допущения верны, иначе мы идем и выигрываем благородный приз.

Что-то типа$\textbf{E}(\textbf{r}) \propto (\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime})/|\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime}|^{3}$из-за статического точечного заряда не принадлежит к соответствующему классу функций (дифференцируемых, квадратично-интегрируемых и т. д.) для$\textbf{E}$поля. В математически точном смысле это не решение уравнений Максвелла.

Тем не менее, мы можем рассматривать его только как промежуточный объект (функция Грина), а не как конечный продукт. Чтобы получить действительное решение, мы всегда делаем свертку с источником, а именно,

$$\begin{equation} \textbf{E}(\textbf{r}) = \int d^{3}\textbf{r}^{\prime} \rho(\textbf{r}^{\prime})\frac{\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime}}{|\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime}|^{3}}. \end{equation}$$

Что же касается разрывов полей на границах, то мы можем просто допустить, что они там будут разрывными. Они не приводят к патологической ситуации, например, к бесконечности энергии. Уравнения Максвелла (в дифференциальной форме) справедливы только внутри каждой области, а решения из разных областей согласованы по граничным условиям.