Закон Био-Савара и поверхностные заряды на движущихся пластинах

Я не был уверен, как ответить на этот вопрос, поскольку на рисунке он выглядит как конечный конденсатор и не дает размеров. Я приступлю к проблеме с предположением, что конденсатор бесконечен в плоскости xy.

Теперь есть один способ выяснить направление чистого B-поля: логические рассуждения, как это делает Гриффитс (Введение в электродинамику, 3-е издание, стр. 226, пример 5.8) для случая одной пластины с поверхностным током .$K$. Обратите внимание, что в этом примере ток направлен в направлении +x.

Прежде всего, каково направление B? Может ли он иметь какую-либо x-компоненту? Нет: беглый взгляд на закон Био-Савара (5.39) показывает, что B перпендикулярно K. Может ли он иметь az -компоненту? Нет снова. Вы можете подтвердить это, заметив, что любой вертикальный вклад нити в точке +y компенсируется соответствующей нитью в точке -y. Но есть более приятный аргумент: предположим, что поле направлено в сторону от плоскости. Меняя направление тока на противоположное, я мог заставить его указывать на плоскость (в законе Био-Савара изменение знака тока меняет знак поля). Но z-компонента B никак не может зависеть от направления тока в плоскости xy. (Подумайте об этом!) Таким образом, B может иметь только y-компоненту, и быстрая проверка правой рукой должна убедить вас, что она указывает влево над плоскостью и вправо под ней.

Затем Гриффитс создает петлю Ампера и находит B-поле:

Итак, в вашем случае, когда ток в направлении +y, вы правы, что не может быть компонента az. Будет только компонент x .

Теперь самое интересное. Поскольку вы задали этот закон Био-Савара для поверхностного тока в своем вопросе, я подумал, что мог бы также использовать его и пойти дальше и показать, что чистое B-поле находится в направлении x при интегрировании. Так вот

Мы знаем,

$\vec{B}\left ( \vec{r} \right )=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\int \frac{\vec{K}\left ( \vec{r'} \right )\times \vec{\eta}}{\left \| \vec{\eta} \right \|^{3}}da'$

где$\vec{\eta}=\vec{r}-\vec{r'}$где$\vec{r}$- векторное расстояние от начала координат до точки поля и$\vec{r'}$- векторное расстояние от начала координат до исходного заряда.

К =$\sigma$в$\hat{y}$

Возьмем любую точку ($\ x_1,y_1,z_1$), в котором мы хотим найти чистое B-поле. Найдем здесь поле за счет поверхностного тока в общей точке ($\ x,y,0$)

$\vec{\eta}=(x_1-x)\hat{x}+(y_1-y)\hat{y}+z_1\hat{z}$

${\vec{K} ( \vec{r'} )\times \vec{\eta}}$"="$\sigma$в$\hat{y} \times ((x_1-x)\hat{x}+(y_1-y)\hat{y}+z_1\hat{z})$"="$z_1\hat{x}-(x_1-x)\hat{z}$

Теперь для интеграла, который я беру по всей плоскости xy:

$\vec{B}\left ( \vec{r} \right )=\frac{\mu_{0}\sigma v}{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\vec{K}\left ( \vec{r'} \right )\times \vec{\eta}}{( {(x_1-x)^{2}+(y_1-y)^{2}+{z_1}^{2}} )^{3/2}}dxdy$"="$\frac{\mu_{0}\sigma v}{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{z_1\hat{x}-(x_1-x)\hat{z}}{( {(x_1-x)^{2}+(y_1-y)^{2}+{z_1}^{2}} )^{3/2}}dxdy$

Разделив этот интеграл на два отдельных, один из которых находит поле в направлении x, а другой - в направлении z: последний оказывается равным нулю, а первый:

$\frac{\mu_{0}\sigma v}{4 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{z_1\hat{x}}{( {(x_1-x)^{2}+(y_1-y)^{2}+{z_1}^{2}} )^{3/2}}dxdy =\frac{\mu_{0}\sigma v}{4 \pi}*\frac{2 \pi z}{|z|}$

Итак, вы получаете:

$\vec{B}=\frac{\mu_0\sigma v\hat{x}}{2} (z>0$, т.е. - над положительной пластиной)

$\vec{B}=-\frac{\mu_0\sigma v\hat{x}}{2} (z<0$, т.е.-ниже положительной пластины)

Распространение этих результатов на обе пластины (добавление вкладов обоих$\sigma$и -$\sigma$вы обнаружите, что

$\vec {B}=-\mu_0\sigma$в$\hat{x}$(между тарелками)

$\vec {B}=0$(над и под)

Надеюсь, я развеял все ваши сомнения!